[論文レビュー] Feynman Path Integrals Over Entangled States

A. G. Green, C. Hooley+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2016

advanced mathematical theories被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、行列積状態（MPS）上の新規フェ Feynマン経路積分形式を導入し、半古典的経路にももつれを組み込むことを可能にする。時間に依存する変分原理（TDVP）を用いて、量子力学的ダイナミクスをテンソルネットワーク多様体に射影することにより、臨界的相転移やインスタントン様効果をもつもつれのある鞍点を通じて、顕在する古典的集団変数を捉える。これは強い相関系に対する新たな枠組みを提供する。

ABSTRACT

The saddle points of a conventional Feynman path integral are not entangled, since they comprise a sequence of classical field configurations. We combine insights from field theory and tensor networks by constructing a Feynman path integral over a sequence of matrix product states. The paths that dominate this path integral include some degree of entanglement. This new feature allows several insights and applications: i. A Ginzburg-Landau description of deconfined phase transitions. ii. The emergence of new classical collective variables in states that are not adiabatically continuous with product states. iii. Features that are captured in product-state field theories by proliferation of instantons are encoded in perturbative fluctuations about entangled saddles. We develop a general formalism for such path integrals and a couple of simple examples to illustrate their utility.

研究の動機と目的

• 従来の経路積分がもつれのない積状態に依存するという制限を克服し、行列積状態（MPS）を経路の配置として用いることで、量子もつれを組み込んだ経路積分形式の構築を目的とする。
• もつれのある鞍点を通じて、非断熱的に接続された相や顕在する古典的集団変数を、量子多体系において記述することを目的とする。
• 以前はインスタントンや摂動的揺らぎによって記述されていた量子補正を、積状態配置ではなくもつれのある鞍点を通じて捉える場の理論的枠組みを提供することを目的とする。
• テンソルネットワーク手法（例：DMRG）とフェインマンの経路積分形式との橋渡しをすることにより、変分原理と経路積分的ダイナミクスを統合することを目的とする。

提案手法

• 各経路がテンソルネットワーク多様体上の半古典的経路に対応する、行列積状態（MPS）の系列による重み付き和として経路積分を構築する。
• 時間に依存する変分原理（TDVP）を用いて、主要な鞍点経路を特定し、完全な量子ハミルトニアンの時間発展をMPS多様体に射影する。
• MPSパラメータの関数として経路積分の作用を定式化し、TDVP方程式から導かれる力学的項と幾何的位相を含める。
• 鞍点周りの揺らぎ領域における二次的ハミルトニアンを対角化するため、ボソン化とボゴリューボフ変換を実装し、分散関係を導出する。
• ボソンの交換関係を保つためにMPS伝送行列（M1, M2）に課される条件を導出し、ユニタリ変換と対角行列U, Vを用いてハミルトニアンを対角化する。
• 有効な低エネルギー理論を、秩序パラメータによって調節される結合定数を持つ横磁場イジング模型に写像する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フェインマン経路積分をもつれ状態（例：行列積状態）上で構築可能か。これにより、標準的な積状態経路積分が一般化されるか。
• RQ2 経路積分におけるもつれのある鞍点は、積状態近似では得られない顕在する古典的集団変数をどのように明らかにするか。
• RQ3 以前はインスタントンの増殖や摂動的揺らぎによって記述されていた量子補正は、もつれのある鞍点周りの揺らぎにどの程度組み込まれるか。
• RQ4 経路積分フレームワークにもつれを組み込むことで、脱confined量子臨界点の記述がどの程度改善されるか。

主な発見

• もつれのある経路積分の主要な鞍点は、MPS多様体上の時間に依存する変分原理（TDVP）に対応し、計算的にも効率的でかつもつれのある半古典的ダイナミクスをもたらす。
• 本手法により、もつれのある鞍点を通じて顕在する秩序パラメータを捉えることで、脱confined量子臨界点のギンツブルグ＝ランダウ型記述が可能になる。
• もつれのある鞍点周りの揺らぎは、従来は積状態場理論におけるインスタントンの増殖に帰属されていた効果を、今や摂動的量子補正として再解釈できる。
• 低エネルギーモードの分散関係は ωₗ ∝ √[(1−λ)(1+nˣ)+λ(nᶻ)²][(1−λ)(1+nˣ)+(1−λ)(nᶻ)²]/nᶻ として導出され、秩序パラメータ nᶻ に非自明な依存性を示す。
• 零点エネルギーは −1/♯ J₂ の項によって補正され、ボゴリューボフ変換により有効ハミルトニアンが対角化され、自発スピン波理論と整合するスペクトルが得られる。
• MPS伝送行列への制約によりボソンの交換関係が保たれ、ユニタリ性と元の場の理論との一貫性が保証される。