[論文レビュー] Feynman's solution of the quintessential problem in solid state physics

Kun Chen, Kristjan Haule|arXiv (Cornell University)|Sep 12, 2018

Advanced Chemical Physics Studies参考文献 34被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、フェルミオンの符号問題を軽減し、Feynmanの変分原理と符号に都合の良い図のグループ化技術を組み合わせた、新しい図的量子モンテカルロ法を提案する。この手法は、固体物理学における基盤的問題である均一電子系を解くことを目的としており、最小感度原理を用いてスクリーニングパラメータを最適化し、Feynman図を保存的グループに整理することで、運動量および周波数に依存するスピンおよび電荷応答関数の計算において、類を見ない高い精度を達成した。その結果、従来検出されなかった微細構造が明らかになった。

ABSTRACT

Two of the most influential ideas developed by Richard Feynman are the Feynman diagram technique and his variational approach. The former provides a powerful tool to construct a systematic expansion for a generic interacting system, while the latter allows optimization of a perturbation theory using a variational principle. Here we show that combining a variational approach with a new diagrammatic quantum Monte Carlo method, both based on the Feynman's original ideas, results in a powerful and accurate solver to the generic solid state problem, in which a macroscopic number of electrons interact by the long range Coulomb repulsion. We apply the solver to the quintessential problem of solid state, the uniform electron gas (UEG), which is at the heart of the density functional theory (DFT) success in describing real materials, yet it has not been adequately solved for over 90 years. While some wave-function properties, like the ground state energy, have been very accurately calculated by the diffusion Monte Carlo method (DMC), the static and dynamic response functions, which are directly accessed by the experiment, and are crucial for development of non-local and non-adiabatic density functionals, remain poorly understood. Our method allows us to calculate the momentum-frequency resolved spin response functions for the first time, and to improve on the precision of the charge response function. The accuracy of both response functions is sufficiently high, so as to uncover previously missed fine structure in these responses. This method can be straightforwardly applied to a large number of moderately interacting electron systems in the thermodynamic limit, including realistic models of metallic and semiconducting solids.

研究の動機と目的

• 均一電子系（UEG）の静的および動的応答関数を高精度に計算するという長年の課題に取り組むこと。これは固体物理学における根本的問題である。
• 強い相関効果およびフェルミオンの符号問題に対処できない従来の摂動論およびモンテカルロ手法の限界を克服すること。
• Feynmanの図的フレームワークを用いて、相互作用電子系における応答関数を体系的かつ収束的に計算する手法を開発すること。
• 現実の金属的および半導体的物質における応答関数を、高精度かつ熱力学的に一貫した方法で計算可能にする。

提案手法

• 最小感度原理（PMS）を用いてスクリーニングされたクーロン相互作用と物理的フェルミ面を有する変分的出発点を採用し、収束を加速する。
• Hugenholtz図と自由エネルギー生成関数を用いて、フェルミオンの符号問題を軽減する「符号に都合の良い」保存的グループへのFeynman図の新規グループ化を導入する。
• 外部頂点を内部伝搬関数に接続する方法により、共有される伝搬関数と運動量ループを保ったまま、位相的に異なるすべての極化図を体系的に生成する。
• フェルミオンの交差対称性と運動量／周波数ループ最適化を活用し、独立な伝搬関数の数を最小限に抑え、統計的ばらつきを低減する。
• 1つのHugenholtz図に属する$2^N$個のFeynman図の和を、計算コストを$O(2^N)$から$O(N)$に削減するために、二分木構造を効率的に用いる。
• 前次の位数の$\ln Z$図を接続した図から極化図を構築することで、図的レベルで保存則が保証され、物理的整合性が確保される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 変分的図的モンテカルロ法は、均一電子系の応答関数に対して、高精度かつ収束性の高い結果を達成できるか？
• RQ2 相互作用電子系の高次図展開において、フェルミオンの符号問題をどのように軽減できるか？
• RQ3 スクリーニングとフェルミ面の再規格化は、応答関数計算の収束をどのように加速するか？
• RQ4 保存的図グループの構造を体系的に活用することで、計算コストを低減し、統計的効率を向上させられるか？
• RQ5 均一電子系のスピンおよび電荷応答関数に、従来の近似では隠れていた微細構造は何か？

主な発見

• 本手法は、初めてとして、均一電子系の運動量および周波数に依存するスピン応答関数を、類を見ない高い精度で計算した。
• 電荷応答関数は、従来の手法よりも高い精度で計算され、これまで検出されなかった微細構造が明らかになった。
• 最小感度原理による変分的スクリーニングパラメータ最適化により、展開次数が増加するに従い、応答関数の収束が著しく向上した。
• 符号に都合の良い図グループ化により、統計的ばらつきが低減され、二分木構造を用いることで$2^N$個のFeynman図を$O(N)$の演算で効率的に計算可能となった。
• 本手法は、図的レベルで保存則を正確に保持しており、計算された応答関数の物理的整合性が保証された。
• 本手法は、熱力学的極限における中程度に相互作用する電子系に一般化可能であり、現実の金属的および半導体的固体に対しても適用可能である。