[論文レビュー] FFTPL: An Analytic Placement Algorithm Using Fast Fourier Transform for Density Equalization

Jingwei Lu, Pengwen Chen+5 more|arXiv (Cornell University)|Dec 16, 2013

VLSI and FPGA Design Techniques参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、VLSI配置における密度均等化のためのポアソン方程式を解くために高速フーリエ変換（FFT）を用いる、平坦な非線形配置アルゴリズムであるFFTPLを提案する。セルを電荷を有する粒子としてモデル化し、FFTを用いて電場のポテンシャルと場を計算することで、最先端の配置法と比較して収束が早く、配線長と密度バランスの両面で優れた性能を達成する。

ABSTRACT

We propose a flat nonlinear placement algorithm FFTPL using fast Fourier transform for density equalization. The placement instance is modeled as an electrostatic system with the analogy of density cost to the potential energy. A well-defined Poisson's equation is proposed for gradient and cost computation. Our placer outperforms state-of-the-art placers with better solution quality and efficiency.

研究の動機と目的

• 高い品質で混雑のない配置を実現しつつ、実行時間効率を向上させるVLSI設計の課題に対処する。
• 収束性の悪さ、高コスト、モデル化の不正確さといった従来の配置法の限界を克服するため、物理にインspiredされた電磁気的モデルを導入する。
• 階層的クラスタリングを回避し、解の品質を維持しながら収束を加速する平坦で非線形な配置アルゴリズムを開発する。
• 高速フーリエ変換（FFT）を統合し、グローバルな密度と配線長コストの計算に、ポアソン方程式を効率的に解く。
• 多様なベンチマークにおいてパrameterチューニングなしに、より優れた配線長と密度バランスを達成する。

提案手法

• 各セルをその面積に等しい電荷を有する粒子としてモデル化し、配置インスタンスを電磁気的系として表現する。
• セルの密度分布と電場ポテンシャル・場の関係を示すポアソン方程式を定義し、滑らかな勾配計算を可能にする。
• FFTを用いてポアソン方程式の数値解をポテンシャルと電場に関して求め、グローバルな密度コスト評価を高速かつ正確に実現する。
• 滑らかにした配線長（重み付き平均モデルを用いて）と密度ペナルティの組み合わせとして総コストを定式化し、適応的スムージングパrameter γを導入する。
• 共役勾配最適化を適用し、総コスト関数を最小化することで、繰り返し配置座標を改善する。
• オーバーフロー比 τ を基準に、スムージングパrameter γ とペナルティ重み λ を動的に調整し、グローバル探索とローカル最適化のバランスを取る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 FFTに基づくポアソンソルバを用いた物理にインspiredされた電磁気的モデルは、平坦な非線形配置における解の品質と実行時間効率の両面を向上させることができるか？
• RQ2 ポアソン方程式によるグローバルPDEベースの密度モデルは、局所的スムージングや二次ペナルティ法と比較して、収束性と配線長最小化の観点でどのように異なるか？
• RQ3 適応的スムージングと動的ペナルティ重み付けは、非線形配置における収束速度と解の品質をどの程度向上させることができるか？
• RQ4 大規模な配置問題において、電場ポテンシャルと場のFFTベースの計算は、従来の反復的ソルバーよりも優れているか？
• RQ5 FFTPLアルゴリズムは、最先端の配置法と比較して、配線長、実行時間、混雑制御の観点でどの程度優れているか？

主な発見

• FFTPLは、Capo10.5と比較して平均HPWLを13.58%削減し、FastPlace3.0と比較して5.14%、APlace2と比較して10.24%、NTUPlace3と比較して7.20%、mPL6と比較して3.62%削減した。
• 平均して、FFTPLは1.00×の実行時間正規化（ベースライン）を達成しながら、比較されたすべての配置法よりも配線長の品質が優れていた。
• すべてのベンチマークで1,000イテレーション以内に10%のオーバーフロー比の閾値に達し、密度均等化が効果的に行われた。
• 適応的γパrameterを用いた重み付き平均（WA）配線長モデルの使用により、モデル化誤差が低減され、収束安定性が向上した。
• FFTPLは、RQLと比較して8つのベンチマークのうち6つ、SimPLと比較して7つで優れた解の品質を示した。
• FFTベースのポアソンソルバーにより、グローバル情報の効率的伝搬が可能となり、局所的反復的最適化の必要性が低減され、収束が加速した。