[論文レビュー] FHCP Challenge Set: The First Set of Structurally Difficult Instances of the Hamiltonian Cycle Problem

Michael Haythorpe|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2019

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ひとこと要約

FHCPチャレンジセットは、サイズを超えたヒューリスティックソルバーの挑戦を意図して設計された、構造的に難しいハミルトニアンサイクル問題（HCP）の1001件のインスタンスを提供する。数学文献からのグラフ、特別に構築された難易度の高いインスタンス、他のNP問題からの変換、ハイブリッドグラフを含む。最も難しいインスタンスはカンパノロジー問題から導出され、1年間のコンテスト後、16件のみ未解決に留まり、コーエンとクーデルが985件を解いた。

ABSTRACT

The FHCP Challenge Set, comprising of 1001 instances of Hamiltonian cycle problem, is introduced. This set is the first to contain instances of Hamiltonian cycle problem for which the primary difficulty is the underlying graph structure, rather than simply size. A summary of the kinds of graphs contained in the FHCP Challenge Set is given. A discussion of the results of the FHCP Challenge, a year-long competition to solve all instances of the FHCP Challenge Set first announced at the 59th Annual Meeting for the Australian Mathematical Society, is also included.

研究の動機と目的

• サイズではなく構造的複雑性によって困難なハミルトニアンサイクル問題（HCP）インスタンスの、初めてのベンチマークセットを構築すること。
• ヒューリスティック評価のための標準化された、構造的に難しいHCPインスタンスの不足を是正すること。
• 既知のハミルトニアン性を有するが、一般的なHCPソルバーが困難に感じるインスタンスを特定・収集すること。
• これらの困難なインスタンスに対してHCPヒューリスティックの性能をテスト・比較する1年間のコンテストを主催すること。
• 将来のHCPアルゴリズムのベンチマーク用に、公開可能なリソースを提供すること。

提案手法

• 一般化されたペテルセングラフGP(n,2)（n ≡ 3 mod 6）を含む、既知の難易度の高いグラフ族からインスタンスを構築し、これらは正確に3つのハミルトニアンサイクルしか持たないことが知られている。
• 3正則グラフに辺を追加することで一意ハミルトニアングラフを生成し、指数的数のHCを有するが、ヒューリスティックを困難にする構造的複雑性を持つインスタンスを創出する。
• 他のNP完全問題（n-クイーン問題、ドミネーティングセット、インスタントインスランド、ユニウム）のインスタンスをHCPインスタンスに変換し、サイズの増加を最小限に抑える。
• 複数の難易度の高いインスタンスを組み合わせてハイブリッドグラフを作成し、ソルバーがコンポーネントを特定・分解する必要があるようにする。
• ランダムな頂点再ラベル化を適用して構造的パターンを隠し、ヒューリスティックのスキップを防ぐ。
• 3つの主要なHCPソルバー（Concorde、LKH、スネイクスアンドラッズヒューリスティック）を用いて候補インスタンスを評価し、少なくとも2つのアルゴリズムが失敗するものを選別する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようなグラフ構造が、サイズとは無関係に最新のヒューリスティックに対して困難なハミルトニアンサイクルインスタンスを生み出すか？
• RQ2 他のNP完全問題から導出されたインスタンスは、既知のハミルトニアン性を有しても、構造的に困難なHCPインスタンスを生み出すことができるか？
• RQ3 複数の難易度の高いコンポーネントを含むハイブリッドグラフは、個々のインスタンスと比較して、既存のHCPソルバーにどのような挑戦をもたらすか？
• RQ4 どのような構造的性質が、サイクル数が多くても一般的なヒューリスティックが効率的にハミルトニアンサイクルを同定できないようにするか？
• RQ5 事前処理やグラフ同型検出は、そうでなければ困難なHCPインスタンスを解消するためにどれほど有効に使えるか？

主な発見

• FHCPチャレンジセットには1001個のハミルトニアングラフが含まれており、すべてのグラフがハミルトニアンであることが確認されているが、サイズではなく構造的複雑性によって困難に設計されている。
• 最も困難なインスタンスはカンパノロジー、特にボブのみのステッドマン・トリプルズから導出されたもので、Sted4（6930頂点）、Sted5（5544頂点）、Sted6（4620頂点）といったグラフは、すべてのテストされたヒューリスティックに抵抗した。
• 1年間のコンテスト後、未解決のインスタンスは16件に留まり、そのうち3件はステッドマン・トリプルズセットに由来し、残り13件は少なくとも1つのそれらを含むハイブリッドグラフであった。
• コーエンとクーデルは、高度な分解と構造的解析技術を用いて985件を解き、参加者の中で最多の成果を上げた。
• シーハンのユニークハミルトニアングラフおよびn ≡ 3 mod 6を満たす一般化ペテルセングラフGP(n,2)は、最大次数が低いことから、多項式時間の同型検出により解けることが判明した。
• n-クイーン問題、ドミネーティングセット、ユニウムパズルからのインスタンスは、十分に困難であることが判明し、収録された。これは、他のNP問題からの変換が、困難なHCPインスタンスを生み出す可能性を示している。