[論文レビュー] FI_W-modules and stability criteria for representations of the classical Weyl groups

J. Wilson|arXiv (Cornell University)|Sep 16, 2013

Advanced Algebra and Geometry参考文献 35被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、古典的ワイル群（S_n、B_n、D_n）の表現の系列を研究するための代数的枠組みとしてFI_W-加群を導入し、有限生成性が一様な表現安定性を意味することを証明する—すなわち、既約分解のパターンがnに従って安定化することを示す。一般化されたフラッグ多様体および対角コインvariant代数のコホモロジーに対して、特性多項式を確立し、ムルナカノの安定性をタイプB/CおよびDへ拡張する。

ABSTRACT

In this paper we develop machinery for studying sequences of representations of any of the three families of classical Weyl groups, extending work of Church, Ellenberg, Farb, and Nagpal on the symmetric groups S_n to the signed permutation groups B_n and the even-signed permutation groups D_n. For each family W_n, we present an algebraic framework where a sequence V_n of W_n-representations is encoded into a single object we call an FI_W-module. We prove that if an FI_W-module V satisfies a simple finite generation condition then the structure of the sequence is highly constrained. One consequence is that the sequence is uniformly representation stable in the sense of Church-Farb, that is, the pattern of irreducible representations in the decomposition of each V_n eventually stabilizes in a precise sense. Using the theory developed here we obtain new results about the cohomology of generalized flag varieties associated to the classical Weyl groups, and more generally the r-diagonal coinvariant algebras. We analyze the algebraic structure of the category of FI_W-modules, and introduce restriction and induction operations that enable us to study interactions between the three families of groups. We use this theory to prove analogues of Murnaghan's 1938 stability theorem for Kronecker coefficients for the families B_n and D_n. The theory of FI_W-modules gives a conceptual framework for stability results such as these.

研究の動機と目的

• 古典的ワイル群S_n、B_n、D_nの表現の系列を統一的に扱う代数的枠組みを構築すること。
• 対称群からハイパーオクタヘドラル群および偶符号置換群へとFI-加群理論を拡張すること。
• 特性0における有限生成FI_W-加群が一様に表現安定的であることの証明。
• この枠組みを用いて一般化されたフラッグ多様体およびr-対角コインvariant代数のコホモロジーを分析すること。
• タイプB/CおよびDにおけるクリロネッカー係数に関するムルナカノの安定性定理の類似を確立すること。

提案手法

• FI_Wの圏を導入し、W_n-表現の系列を符号化するFI_W-加群を構成する。
• 任意のFI_W-加群を生成するための自由FI_W-加群M_W(m)およびM_W(U)を定義する。
• 制限および誘導ファンクターを用いて、三つのワイル群族間のFI_W-加群を関連付ける。
• FI_W-加群の圏のノエター性を応用し、有限生成性が安定性を意味することを証明する。
• コホモロジールーピングおよび対角コインvariant代数をモデル化するための次数付きFI_W-代数を導入する。
• 特性多項式および重みフィルトレーションを用いて、表現における安定分解パターンを分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で、古典的ワイル群の系列W_n-表現が一様に表現安定的となるか？
• RQ2 FI-加群理論を対称群からハイパーオクタヘドラル群および偶符号置換群へどのように拡張できるか？
• RQ3 B_nおよびD_nに付随する一般化されたフラッグ多様体のコホモロジールーピングの構造は何か？そしてどのように安定化するか？
• RQ4 1938年のムルナカノのクリロネッカー係数に関する安定性定理をタイプB/CおよびDへ一般化できるか？
• RQ5 W_nのr-対角コインvariant代数の安定特性を記述する特性多項式は何か？

主な発見

• 特性0における有限生成FI_W-加群は一様に表現安定的である：各既約表現のV_nにおける重複度は十分大きなnで安定化する。
• 対角コインvariant代数C^(r)_J(n)の次数付き部分の特性は、|J|以下の次数の特性多項式で最終的に与えられる。
• 任意の体上で、C^(r)_J(n)の次数付き部分の次元はnの多項式として最終的に多項式的になる。
• コホモロジールーピングH^*(G^n_W / B^n_W; C)は、有限型の次数付きFI_W-代数であり、次数mにおける安定特性はm/2以下の次数の特性多項式で与えられる。
• タイプBおよびDにおいて、小さなrおよび|J| ≤ 3の範囲で明示的な特性多項式が計算され、添え字の置換に対して不変であることが示された。
• この理論は、表現論における安定性現象を概念的に統合する枠組みを提供し、タイプA、B、C、Dの結果を統一する。