[論文レビュー] Fibered knots with the same $0$-surgery and the slice-ribbon conjecture

Tetsuya Abe, Keiji Tagami|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2015

Geometric and Algebraic Topology参考文献 32被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、スライス・リボン予想と0- surgeryの同型に関するAkbulut-Kirbyの予想の論理的関係を調査する。6_3のファイバードリンクについてのアンナラスねじり技術を用いて、同一の0- surgeryを持つ無限個のファイバードリンクの族を構成する。スライス・リボン予想が成り立つならば、これらのリンクは同型でないことを示し、したがって、同一の0- surgeryを持つリンクが同型であるという予想1.5は偽であることを証明する。主な貢献は、アンナラスねじりを用いてスライス・リボン予想の反例となるファイバードリンクを構成することにある。

ABSTRACT

Akbulut and Kirby conjectured that two knots with the same $0$-surgery are concordant. In this paper, we prove that if the slice-ribbon conjecture is true, then the modified Akbulut-Kirby's conjecture is false. We also give a fibered potential counterexample to the slice-ribbon conjecture.

研究の動機と目的

• スライス・リボン予想と0- surgeryの同型に関するAkbulut-Kirbyの予想の論理的関係を調査すること。
• スライス・リボン予想を仮定したもとで、同一の0- surgeryを持つ2つのリンクが同型でなければならないかどうかを特定すること。
• アンナラスねじり技術を用いて、スライス・リボン予想のファイバード反例を構成すること。
• ねじったリンクのモノドロミーと接触構造を分析し、それらを位相的に区別すること。

提案手法

• ファイバードリンク $6_3$ にアンナラスねじり操作を適用し、同一の0- surgeryを持つリンク族 $K_n = A^n(6_3)$ を生成する。
• Miyazakiの結果を用いて、$K_0 \# \overline{K_1}$ がリボンでないことを示し、スライス・リボン予想が成り立つならば非同型であることを示す。
• ファイバーフォーム上のディヘンねじりを用いて、ファイバードリンク $K_n$ のモノドロミーを計算し、$f_n = t_{c'_1}^{-n} \circ t_{c'_2}^{n} \circ t_d^{-1} \circ t_b \circ t_c^{-1} \circ t_a$ と表す。
• オープンブック $(F, f_n)$ が支える接触構造 $\xi_n$ の $d_3$-不変量を用いてリンクを区別し、$d_3(\xi_n) = -n^2 - n + \frac{3}{2}$ を示す。
• Gabaiの定理を用いて、すべての $K_n$ がファイバードであることを確認する。アンナラスねじりはファイバードリンクから出発すればファイバーネスを保つ。
• 閉じたモノドロミー $\widehat{f}_n$ は互いに共役であるが、開いたモノドロミー $f_n$ は $d_3$-不変量によりリンク $K_n$ を区別する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スライス・リボン予想が真であるならば、同一の0- surgeryを持つ2つのリンクが同型でないことを示唆するか？
• RQ2 アンナラスねじりは、同一の0- surgeryを持つが、異なる同型類に属するファイバードリンクを生成できるか？
• RQ3 同一の0- surgeryを持つ無限個のファイバードリンクの族は、スライス・リボン予想の反例として機能する可能性があるか？
• RQ4 アンナラスねじりによって得られるリンクのオープンブック分解が支える接触構造の $d_3$-不変量は、それらを区別できるか？
• RQ5 スライス・リボン予想のもとで $K_0 \# \overline{K_1}$ がリボンでないことは、予想1.5の反証を示唆するか？

主な発見

• 本稿は、スライス・リボン予想が成り立つならば、同一の0- surgeryを持つリンクが同型であるという予想1.5は偽でなければならないことを証明する。
• $K_n = A^n(6_3)$ は、6_3に $n$ 回のアンナラスねじりを施して得られるが、すべて同一の0- surgeryを持ち、$S^1$ 上の表面 bundle として、モノドロミー $\widehat{f}_n$ を持つ3次元多様体をなす。
• リンク $K_n$ が支える接触構造 $\xi_n$ の $d_3$-不変量は $d_3(\xi_n) = -n^2 - n + \frac{3}{2}$ であり、$n \neq m$ かつ $n + m \neq -1$ のとき、$K_n$ と $K_m$ を区別する。$n \geq 0$ のとき、$K_n$ は互いに相異なる。
• 連結和 $K_0 \# \overline{K_1}$ はリボンでなく、スライス・リボン予想のもとでは、$K_0$ と $K_1$ は同型でないことが示され、予想1.5が反証される。
• この構成により、同一の0- surgeryを持つ無限個のファイバードリンクの族が得られ、スライス・リボン予想の反例として無限に多くの候補が得られる。
• リンク $K_n$ のモノドロミー $f_n$ は明示的に $t_{c'_1}^{-n} \circ t_{c'_2}^{n} \circ t_d^{-1} \circ t_b \circ t_c^{-1} \circ t_a$ と計算され、$n \neq m$ のとき $f_n$ と $f_m$ が異なることから、$K_n$ と $K_m$ が非同型であることが確認される。