[論文レビュー] Fibered Manifolds, Natural Bundles, Structured Sets, G-Sets and all that: The Hole Story from Space Time to Elementary Particles

John Stachel, M. Iftime|ArXiv.org|May 27, 2005

Relativity and Gravitational Theory参考文献 40被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、一般相対性理論における穴の議論を、ファイバード多様体、自然バンドル、構造付き集合、G-空間へと一般化し、微分同相変換不変性が、物理的場が存在しない限り時空の点が固有の同一性（haecceity）を持たないことを示している。主な貢献は、点が場によってのみ個別化される場合、微分同相変換下で物理的に同等の解は相異なるものではないことを示し、忘却函手と幾何的対象場の引き戻しに基づく圏論的・幾何的枠組みによって、穴のパラドックスを解消することにある。

ABSTRACT

In this paper we review the hole argument for the space-time points and elementary particles and generalize the hole argument to include all geometric object fields and diffeomorphisms; and, by application of forgetful functors to abstract from differentiability and even continuity, the hole argument is applied to a much wider class of mathematical objects. We discuss the problem concerning the individuation of the objects in more general settings such that fibered manifolds, fibered sets and n-ary relations.

研究の動機と目的

• 時空の点の個別化を固有の同一性ではなく物理的場に依存させる再解釈により、一般相対性理論における穴のパラドックスを解消すること。
• 計量場にとどまらず、テンソル場、フレーム場、ゲージ場を含むすべての幾何的対象場へと穴の議論を拡張すること。
• 圏論と忘却函手を用いて、ファイバード集合、n重関係、G-空間といったより抽象的な数学的構造へ穴の議論を適用すること。
• 時空の点におけるquiddity（固有の性質）とhaecceity（個体性）の違いを明確にし、物理的に意味を持つのは前者であることを示すこと。
• 点が場によって個別化される場合、微分同相的に関連する解は物理的に同等であることを確立することで、一般共変理論における決定論を保つこと。

提案手法

• 計量、接続、フレーム場を含む幾何的対象場を表現するため、ファイバード多様体と自然バンドルを用いて穴の議論を形式化する。
• 微分同相変換下での場の変換を定義するため、引き戻し函手（D*F）を適用し、座標系や点のラベルの変更に対しても物理的成分が不変であることを保証する。
• 微分可能性や連続性を抽象化するための忘却函手を用い、滑らかでない構造、例えば集合や関係へと穴の議論を一般化する。
• すべての構造を微分同相変換に沿って「引きずる」ことによって得られる「自明な同値性」(M, F[p]) ≡ (M, D*F[p]) の概念を導入し、物理的に区別できないモデルが得られることを示す。
• Yang-Mills理論とG-空間へこの枠組みを適用し、ゲージ変換と群作用が微分同相変換と同様の物理的同値性を保つことを示す。
• 初期値問題および境界値問題の観点から穴の議論を分析し、場に依存する個別化が仮定されない限り、一意な解が存在しないことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般相対性理論における計量場を超えて、すべての幾何的対象場へ穴の議論を一般化できるか？
• RQ2 時空の点が独立して個別化されない場合、微分同相変換不変性が、物理的に異なる解が存在するかどうかをどのように決定するか？
• RQ3 ファイバード集合やn重関係のような滑らかでない、あるいは離散的な数学的構造へ、穴の議論をどのように拡張できるか？
• RQ4 点が存在する場にのみ依存して個別化される場合、微分同相的に関連する解が物理的に同等であるとされる意味は何か？
• RQ5 忘却函手は、G-空間や構造付き集合といった抽象的数学的対象へ穴の議論を一般化するためにどのように機能するか？

主な発見

• 場に依存する個別化がない限り、境界上に完全なデータが与えられても、一般共変場方程式に対して一意な解は存在しない。
• 点が場の存在によってのみ個別化される場合、微分同相変換下で関連する解は物理的に同等であり、引き戻し構成D*Fが座標系や点のラベルの変更に対しても物理的成分を保存するためである。
• 自明な同値性(M, F[p]) ≡ (M, D*F[p])は普遍的に成立し、微分同相変換に沿ってすべての構造を「引きずる」ことで物理的変化が生じないことを意味する。
• 時空の点はhaecceityを持たない。それらは自己で個体ではないが、計量や他の物理的場によってのみ個体として成立するため、穴のパラドックスが解消される。
• この枠組みはファイバード集合や関係へも一般化され、個別化が固有の同一性ではなく構造に依存する任意の数学的対象へ穴の議論が適用可能であることを示している。
• 対称性のない一般時空では、Kretschmann-Komar不変量が場に依存する座標として機能し、絶対的同一性を仮定せずに点を個別化する方法を提供する。