[論文レビュー] Fibered Multilinks and singularities $f \bar g$

Anne Pichon, José Seade|ArXiv.org|May 15, 2005

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、$f, g: (ℂ^n, 0) \to (ℂ, 0)$ が正則芽であるとき、$f\overline{g}$ が実解析的芽として $0$ が孤立した臨界値である場合、Milnorのファイブレーション定理をより広いクラスの実解析的特異点へ一般化することを確立する。主な結果は、正の重複度を持つ、歯車構造をもつ3次元多様体内のファイブレーション multilink が、すべてこのような $f\overline{g}$ 岡のリンクとして実現可能であるということである。

ABSTRACT

In this article we extend Milnor's fibration theorem for complex singularities to the case of singularities $f \bar g:(X,P) o (C,0))$ defined on a complex analytic singularity germ $(X,P)$, with $f, g$ holomorphic and $f \bar g$ having an isolated critical value at $0 \in C$. This can also be regarded as a result for meromorphic germs. Then we strenghten this fibration theorem when $X$ has complex dimension 2, obtaining a fibration theorem for multilinks that extends previous work by Pichon. We prove that the multilink $L_{f \bar g}$ in $L_X$ (the link of $X$), is fibred iff the map $f \bar g$ has an isolated critical value at $0 \in C$, and in this case the map $\frac{f \bar g}{|f \bar g|}$ defined on $L_X \setminus L_{f \bar g}$ is a multilink fibration.We also give a combinatorial criterium, easy to verify, to decide when is $L_{f \bar g}$ a fibred multilink. We finally prove a realization theorem for fibred multilinks.

研究の動機と目的

• 正則芽 $f$ および $g$ に対して、$f\overline{g}$ の形の実解析的特異点へ Milnor のファイブレーション定理を拡張すること。
• どのファイブレーション multilink が、3次元多様体内の $f\overline{g}$ 実解析的芽のリンクとして実現可能かを特定すること。
• 正則複素表面特異点上の $f\overline{g}$ 岡の使用により、歯車構造3次元多様体内のファイブレーション multilink の実現定理を確立すること。
• $f\overline{g}$ に関連する Milnor ファイブレーションの位相的・幾何的性質、特に開書式と Seifert ファイブレーションとの関係を調査すること。
• 特定の条件下で、非タウまたは非ファイブレーション multilink が $f\overline{g}$ の構成によって実現可能かどうかという未解決問題に取り組むこと。

提案手法

• 複素特異点における Milnor ファイブレーション定理を、孤立した臨界値を持つ実解析的写像 $f\overline{g}$ へ拡張する基盤として用いる。
• 開書式分解と Seifert ファイブレーションを用いて、$S^3$ や歯車構造3次元多様体における $f\overline{g}$ のファイブレーション構造を分析する。
• 歯車グラフと交差行列を用いて、リンクの位相的性質を特徴づけ、$m_j^{(i)} \in \mathbb{Z}$ の条件によりファイブレーション性を検証する。
• G. Winters の複素表面の退化族に関する結果を活用し、正則表面特異点上の正則芽のリンクとして multilink を実現する。
• $f\overline{g}/|f\overline{g}|$ の写像を $S^1$ 上のファイブレーションとして用い、$L_1 \cup (-L_2)$ をファイブレーション multilink として実現する。
• 定理 7.2 の証明において、定理 7.1（ファイブレーション multilink の実現）と歯車多様体および multilink 重複度に関する位相的条件を組み合わせる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのファイブレーション multilink が、歯車構造3次元多様体内の正則芽 $f, g$ に対して $f\overline{g}$ の実解析的芽のリンクとして現れるか？
• RQ2 $0$ が孤立した臨界値であるとき、写像 $f\overline{g}$ が Milnor ファイブレーションであるための条件は何か？
• RQ3 正の重複度を持つすべてのファイブレーション multilink が、正則複素表面特異点上の $f\overline{g}$ 岡のリンクとして実現可能か？
• RQ4 $L_1$ と $L_2$ がファイブレーションでないが、$L_1 \cup (-L_2)$ がファイブレーションであるとき、どのような位相的障害が生じるか？
• RQ5 環境特異点がタウでない場合に、$f\overline{g}$-リンクの実現は可能か？

主な発見

• 臨界値 $0$ が孤立しているとき、実解析的芽 $f\overline{g}$ に対しても Milnor ファイブレーション定理が成り立ち、$S^1$ 上でのファイブレーション構造が保たれる。
• 正則複素表面特異点上の $f\overline{g}$ 岡のリンクとして、歯車構造3次元多様体 $M$ 内の正の重複度を持つすべてのファイブレーション multilink $L = n_1k_1 \cup \cdots \cup n_lk_l$ が実現可能である。
• $f\overline{g}/|f\overline{g}|$ のファイブレーションが、$L_1$, $L_2$, および $L_1 \cup (-L_2)$ がすべてファイブレーションであり、$M$ がタウ表面特異点のリンクと同相である場合、$L_1 \cup (-L_2)$ をファイブレーション multilink として実現する。
• multilink がファイブレーションであるための条件は、負定値交差行列 $M_\Gamma$ に対する方程式 $M_\Gamma^t m = -b(L)$ の解の成分 $m_j^{(i)}$ が整数であることと同値である。
• $L_1$ と $L_2$ がファイブレーションでないが $L_1 \cup (-L_2)$ がファイブレーションである場合、表面特異点の解析的型の非一意性の可能性があるため、$f\overline{g}$-リンクの実現は未解決のままである。
• この構成により、$S^3$ 内のすべての絡み目とリンクが、$f\overline{g}$ 岡を用いて代数的リンクとして実現可能であり、A’Campo よりも一般化された結果が得られる。