[論文レビュー] Fibonacci and Lucas Numbers Associated with Brocard-Ramanujan Equation

Prapanpong Pongsriiam|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2015

Advanced Mathematical Identities参考文献 12被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、Fibonacci数とLucas数の性質、原始的因子、およびBinetの公式を用いて、形式 $F_{n_1}F_{n_2}\cdots F_{n_k} \pm 1 = F_m^2$、$L_{n_1}L_{n_2}\cdots L_{n_k} \pm 1 = L_m^2$、および混合バージョンのディオファントス方程式を解いている。主な結果は、無限個の族と有限個の散発的ケースを含むすべての解の完全な分類であり、MarquesとSzalayによる先行研究を拡張している。

ABSTRACT

We explicitly solve the diophantine equations of the form $$ A_{n_1}A_{n_2}\cdots A_{n_k}\pm 1 = B_m^2 $$ where $(A_n)_{n\geq 0}$ and $(B_m)_{m\geq 0}$ are either the Fibonacci sequence or Lucas sequence. This extends the result of D. Marques (2011) and L. Szalay (2012) concerning a variant of Brocard-Ramanujan equation. This is a manuscript of the article published in Communications of the Korean Mathematical Society, 32(3) (2017), pp. 511-522

研究の動機と目的

• 階乗ではなくFibonacci数およびLucas数の積に拡張されたBrocard-Ramanujan問題を提示すること。
• MarquesとSzalayによるBrocard-Ramanujan方程式の変種に対する解に関する誤りを是正すること。
• Fibonacci数またはLucas数の列 $A_n$ および $B_m$ を用いた $A_{n_1}A_{n_2}\cdots A_{n_k} \pm 1 = B_m^2$ の形のすべての解を完全に分類すること。
• Szalayの研究における欠落を是正し、$L_0L_3 + 1 = L_2^2$ の解を含めること。

提案手法

• Carmichaelの原始的因子定理を用いて、Fibonacci数およびLucas数の整除性の性質を分析する。
• Binetの公式と恒等式 $F_{m-k}F_{m+k} = F_m^2 + (-1)^{m-k+1}F_k^2$ を適用して方程式を変形・簡略化する。
• mの偶奇に基づくケース解析を用いて、$\pm 1$ の場合を別々に取り扱う。
• 定理1による再帰的還元を用いて大きな解を除外し、有限個のケースに還元する。
• FibonacciおよびLucasの恒等式に関する補題を適用して、整除性が既知の項の積の形に方程式を再表現する。
• 大きな解を除外した後、$m \leq 13$ の小さなケースを直接計算で検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非負整数 $n_1 \leq \cdots \leq n_k$ および $m \geq 0$ に対して、$F_{n_1}F_{n_2}\cdots F_{n_k} \pm 1 = F_m^2$ のすべての解は何か？
• RQ2 同じ条件下で、$L_{n_1}L_{n_2}\cdots L_{n_k} \pm 1 = L_m^2$ のすべての解は何か？
• RQ3 たとえば $F_{n_1}\cdots F_{n_k} \pm 1 = L_m^2$ や $L_{n_1}\cdots L_{n_k} \pm 1 = F_m^2$ のような混合方程式に解はあるか？
• RQ4 解 $L_0L_3 + 1 = L_2^2$ は、SzalayのLucas数の積に関する以前の研究における欠落を是正するものか？
• RQ5 自明または散発的ケース以外に、無限個の族の解は存在するか？

主な発見

• すべての解 $F_{n_1}F_{n_2}\cdots F_{n_k} - 1 = F_m^2$ は分類済みである：$m = 0,1,2$ の場合に自明な解が存在し、$m \geq 4$ に対して無限族 $F_{m-\delta}F_{m+\delta} - 1 = F_m^2$ が存在する。ここで $\delta = 1$（$m$ が奇数）、$\delta = 2$（$m$ が偶数）である。
• すべての解 $F_{n_1}F_{n_2}\cdots F_{n_k} + 1 = F_m^2$ は分類済みである：自明な解として $F_0 + 1 = F_1^2$ と $F_4 + 1 = F_3^2$ が含まれ、$m \geq 5$ に対して無限族 $F_{m-\varepsilon}F_{m+\varepsilon} + 1 = F_m^2$ が存在する。ここで $\varepsilon = 1$（$m$ が偶数）、$\varepsilon = 2$（$m$ が奇数）である。
• $L_{n_1}L_{n_2}\cdots L_{n_k} + 1 = L_m^2$ には解 $L_0L_3 + 1 = L_2^2$ が存在し、Szalayの以前の研究における欠落を是正する。
• $L_{n_1}L_{n_2}\cdots L_{n_k} \pm 1 = L_m^2$ に対しては、小さなケースを除いて解は存在せず、$L_{n_1}\cdots L_{n_k} + 1 = L_m^2$ の唯一の解は $L_0L_3 + 1 = L_2^2$ である。
• 混合方程式 $F_{n_1}\cdots F_{n_k} \pm 1 = L_m^2$ や $L_{n_1}\cdots L_{n_k} \pm 1 = F_m^2$ については、$m \geq 14$ では解がなく、小さな解は有限個しか存在しない。
• 原始的因子とケース解析による証明法により、すべての式が $m \leq 13$ の有限チェックに還元され、解集合の完全性が確認された。