[論文レビュー] Fibonacci numbers and the golden ratio

Robert J. Schneider|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2016

Advanced Mathematical Theories and Applications被引用数 6

ひとこと要約

この解説論文は、フィボナッチ数、黄金比φ、連分数、およびネストされたルートの深い関係を、二次方程式の解に由来する一般枠組みの下で統合的に探求する。φはフィボナッチ比の極限として現れ、無限連分数および無限ネストされたルートとして表現可能であり、φ(a,b) = (a + √(a² + 4b))/2 として、任意の二次多項式への一般化がなされる。

ABSTRACT

In this expository paper written to commemorate Fibonacci Day 2016, we discuss famous relations involving the Fibonacci sequence, the golden ratio, continued fractions and nested radicals, and show how these fit into a more general framework stemming from the quadratic formula.

研究の動機と目的

• フィボナッチ数、黄金比、連分数、ネストされたルートの間の数学的関係を明確にすること。
• これらの古典的数学的対象が、二次方程式に根ざした単一の一般枠組みからどのように生じるかを示すこと。
• 任意の有理数aとbに対して黄金比φをφ(a,b)に一般化し、その性質をより広いクラスの二次無理数へ拡張すること。
• 一般化されたフィボナッチ数列Fₙ(a,b)/Fₙ₋₁(a,b)の連続項比がφ(a,b)に収束することを確立すること。これは古典的フィボナッチ–黄金比極限に類似している。

提案手法

• F₀ = F₁ = 1 とし、Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂ という標準的な再帰的定義によりフィボナッチ数列を生成する。
• x² - x - 1 = 0 に二次方程式を適用し、黄金比φ = (1 + √5)/2 を導出する。
• φの逆数恒等式を繰り返し代入することで、φ = 1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/(1 + ...))) という連分数表現を導出する。
• 恒等式φ = √(1 + φ) を用いて、φ = √(1 + √(1 + √(1 + ...))) というネストされたルート形式を導出する。
• 有理数a, bに対してφ(a,b) = (a + √(a² + 4b))/2 と一般化し、類似の連分数およびネストされたルート形式を導出する。
• F₀(a,b) = 1, F₁(a,b) = a, およびn ≥ 2に対してFₙ(a,b) = aFₙ₋₁(a,b) + bFₙ₋₂(a,b) で定義される一般化フィボナッチ数列Fₙ(a,b)を導入する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続する項の比の極限において、フィボナッチ数は黄金比φとどのように関係しているか？
• RQ2 黄金比φは無限連分数および無限ネストされたルートとして表現可能か？
• RQ3 任意の有理数パラメータa, bに対して、黄金比の一般化は存在するか？ その性質はどのように拡張されるか？
• RQ4 一般化フィボナッチ数列Fₙ(a,b)の連続項比はφ(a,b)に収束するか？
• RQ5 再帰的定義、連分数、ネストされたルート表現の観点から、古典的フィボナッチ数列とその一般化形との間にどのような構造的類似性があるか？

主な発見

• nが増加するにつれ、比Fₙ/Fₙ₋₁は黄金比φ ≈ 1.6180に近づき、F₁₀/F₉ = 89/55 ≈ 1.6181 は良好な近似である。
• 黄金比φはすべての係数が1の無限連分数として表現可能である：φ = 1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/(1 + ...)))。
• 黄金比φは無限ネストされたルート恒等式を満たす：φ = √(1 + √(1 + √(1 + ...)))。
• 一般化された黄金比φ(a,b) = (a + √(a² + 4b))/2 は、φ(a,b) = a + b/φ(a,b) および φ(a,b) = √(b + aφ(a,b)) を満たす。
• F₀ = 1, F₁ = a, Fₙ = aFₙ₋₁ + bFₙ₋₂ で定義される一般化フィボナッチ数列Fₙ(a,b) は、limₙ→∞ Fₙ(a,b)/Fₙ₋₁(a,b) = φ(a,b) を満たす。
• φ(a,b)の連分数およびネストされたルート形式は、φの古典的形式を一般化しており、φ(a,b) = a + b/(a + b/(a + ...)) および φ(a,b) = √(b + a√(b + a√(...))) が成り立つ。