[論文レビュー] Fibrant resolutions for motivic Thom spectra

Grigory Garkusha, Alexander Neshitov|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 24被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、E-フレームドモチーフとフレームド対応を用いて、モチービックトムスペクトルの明示的フレームト・リゾリューションを構成する。ヴォエバドスキーの枠組みを拡張し、有限係数をもつ点のE-フレームドモチーフが、C 上のトポロジカルトムスペクトル Re^ε(E)/N をモデル化することを証明し、滑らかで quasi-projective な多様体の逐次列のコロキムを用いて代数的コボルディズムスぺクトル MGL を計算する。

ABSTRACT

Using the theory of framed correspondences developed by Voevodsky [24] and the machinery of framed motives introduced and developed in [6], various explicit fibrant resolutions for a motivic Thom spectrum $E$ are constructed in this paper. It is shown that the bispectrum $$M_E^{\mathbb G}(X)=(M_{E}(X),M_{E}(X)(1),M_{E}(X)(2),\ldots),$$ each term of which is a twisted $E$-framed motive of $X$, introduced in the paper, represents $X_+\wedge E$ in the category of bispectra. As a topological application, it is proved that the $E$-framed motive with finite coefficients $M_E(pt)(pt)/N$, $N>0$, of the point $pt=Spec (k)$ evaluated at $pt$ is a quasi-fibrant model of the topological $S^2$-spectrum $Re^ε(E)/N$ whenever the base field $k$ is algebraically closed of characteristic zero with an embedding $ε:k\hookrightarrow\mathbb C$. Furthermore, the algebraic cobordism spectrum $MGL$ is computed in terms of $Ω$-correspondences in the sense of [15]. It is also proved that $MGL$ is represented by a bispectrum each term of which is a sequential colimit of simplicial smooth quasi-projective varieties.

研究の動機と目的

• E-フレームドモチーフとフレームド対応を用いて、モチービックトムスペクトルの明示的フレームト・リゾリューションを開発すること。
• 束縛定数 d をもつトムスペクトル E に対して、フレームドモチーフの道具立てを E-フレームドモチーフへ拡張すること。
• 有限係数をもつ代数的 E-フレームドモチーフを用いて、トポロジカルトムスペクトル Re^ε(E)/N の幾何的モデルを確立すること。
• 滑らかで quasi-projective な多様体の逐次列のコロキムとしての bispectrum として、代数的コボルディズムスぺクトル MGL を Ω-対応によって計算すること。
• C_*Fr^E(S_T)、C_*Θ^∞(E)、および C_*Θ^∞_sym(E) の複数の構成が、E と安定同値なモチービックフレームトスぺクトルをもたらすことを証明すること。

提案手法

• X から E_n へのねじれ付き E-フレームド対応として定義される E-フレームドモチーフ M_E(X) を導入し、|M_E^G(X) = (M_E(X), M_E(X)(1), M_E(X)(2), ...). という bispectrum を形成する。
• ヴォエバドスキーのフレームド対応とサスリン複体の構成を用いて、P^1-スぺクトルである E-フレームド対応から、スぺクトル C_*Fr^E(S_T) を構成する。
• C_*Θ^∞(E)、C_*Θ^∞_sym(E)、および C_*Fr^E(S_T) に対して、レベルごとの Nisnevich 局所フレームト置換を適用し、モチービックフレームトモデルを取得する。
• フレームドモチーフの理論とヴォエバドスキーの補題を用いて、Fr_n^E(X) = Hom(P^n, X_+ ∧ E_n) の幾何的記述を与える。
• 段階フィルトレーションと Mayer–Vietoris 列を用いて、フレームドスぺクトルのホモトピー型を分析する。
• k が特徴数 0 で C に埋め込まれた代数的に閉体の場合、M_E(pt)(pt)/N は Re^ε(E)/N の準フレームトモデルであることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 E-フレームドモチーフを用いて、モチービックトムスペクトルの明示的フレームト・リゾリューションを構築できるか？
• RQ2 ベース体が C に埋め込まれた場合、E-フレームドモチーフは有限係数をもつトポロジカルトムスペクトルとどのように関係するか？
• RQ3 代数的コボルディズムスぺクトル MGL は、Ω-対応と滑らかで quasi-projective な多様体の列のコロキムとしての bispectrum として記述できるか？
• RQ4 安定モチービックホモトピー圏において、スぺクトル C_*Fr^E(S_T)、C_*Θ^∞(E)^f、および C_*Θ^∞_sym(E)^f の関係は何か？
• RQ5 E-フレームドモチーフ M_E(X) が、SH(k) において X_+ ∧ E の準フレームトモデルであるための条件は何か？

主な発見

• 任意の束縛定数 d をもつトムスペクトル E に対して、C_*Fr^E(S_T)^f はレベル max(0, d) からモチービックフレームトであり、E と安定同値である。
• 交換的群作用が可縮である対称的トムスぺクトル E に対して、C_*Θ^∞(E)^f および C_*Θ^∞_sym(E)^f もレベル max(0, d) からモチービックフレームトであり、E と安定同値である。
• k が特徴数 0 で C に埋め込まれた代数的に閉体であるとき、点 pt = Spec k に対して E-フレームドモチーフ M_E(pt)(pt)/N は、トポロジカル S^2-スぺクトル Re^ε(E)/N の準フレームトモデルである。
• 代数的コボルディズムスぺクトル MGL は、単体的滑らかで quasi-projective な多様体の逐次列のコロキムである項をもつ bispectrum として表される。
• MGL は [21] の Ω-対応の意味で計算され、フレームド対応によるスぺクトルの幾何的実現を提供する。
• E-フレームドモチーフとそれらに関連する bispectrum の構成は、モチービックホモトピー理論の新たな計算枠組みを提供し、フレームドモチーフの理論をトムスぺクトルへ拡張する。