[論文レビュー] Fibration theorems à la Milnor for differentiable maps with non-isolated singularities

José Luis Cisneros‐Molina, Aurélio Menegon+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、非孤立な特異点をもつ $C^{\ell}$ 実関数に対するミルナーの定理に類似したファイブレーション定理を確立し、$d$-正則性が球面上でのミルナー・ファイブレーションの存在を保証することを証明している。また、被覆空間をホメオモルフィズムで変形することで特異値集合を線形化でき、その結果得られる写像が $d$-正則性を満たすならば、球面上のファイブレーションが存在する。これは、古典的な結果を孤立しない臨界集合へと一般化したものである。

ABSTRACT

We prove fibration theorems à la Milnor for differentiable real maps with non isolated critical values. We study the situation for maps with linear discriminant, and prove that the concept of d-regularity is the key point for the existence of a Milnor fibration on the sphere. We also explain how one can modify the target space by homeomorphisms to linearize a general discriminant. Whenever the composed map is d-regular one has fibration on the sphere. Plenty of examples are discussed along the text.

研究の動機と目的

• 臨界値が孤立でないような微分可能な写像に対して、ミルナーのファイブレーション定理を拡張すること。
• このような写像に対して、球面上でのミルナー・ファイブレーションの存在を保証する鍵となる条件として $d$-正則性を特定すること。
• 被覆空間をホメオモルフィズムで変形することで特異値集合を線形化できることを示し、$d$-正則性条​​件の適用を可能にすること。
• 孤立しない特異点をもつ状況において、局所的に自明なファイブレーションを構成する一般枠組みを提供すること。これは、以前の孤立した臨界点や臨界値に関する結果を拡張するものである。
• $(f,g) = (\sum a_i x_i^p, \sum b_i x_i^q)$ の特定の写像族を、$d$-正則性およびファイブレーションの挙動の例示的例として分析すること。

提案手法

• 非孤立な特異点をもつ写像のための $d$-正則性の概念を導入し、原点を中心とする小さな球面と各ファイバー $f^{-1}(\ell)$ の横断性によって定義する。
• 相対エレスマンのファイブレーション定理を適用し、横断性条件が成立する場合、原点まわりのチューブ上で局所的に自明なファイブレーションが得られることを示す。
• エレスマン接続と水平上昇を用いて、$d$-正則性のもとでファイブレーションの合成がファイブレーション性を保つことを証明する。
• 原点を通る直線 $\ell$ に対して、実解析的多様体の標準的ペンキル $X_\ell = f^{-1}(\ell)$ を構成し、特異集合付近のファイバーの幾何を分析する。
• 被覆空間をホメオモルフィズムで変形することで特異値集合を線形化し、一般の特異値集合を線形なものに変換することで、$d$-正則性の検査を可能にする。
• サブ解析的集合と $C^\ell$-写像の理論を用いて、非孤立な状況においても正則性および横断性条件が成立することを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非孤立な臨界集合をもつ $C^\ell$ 写像 $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^k$ が、球面上でミルナー・ファイブレーションをもつのはどのような条件下か？
• RQ2 孤立した臨界点から非孤立な特異点をもつ写像へと $d$-正則性の概念をどのように拡張できるか？
• RQ3 被覆空間のホメオモルフィズムを用いて写像の特異値集合を線形化できるか？ これによりファイブレーション構造の解析が簡略化されるか？
• RQ4 原点付近での写像 $f$ のファイブレーション性を決定づける要因として、標準的ペンキル $X_\ell = f^{-1}(\ell)$ の果たす役割は何か？
• RQ5 $(f,g) = (\sum a_i x_i^p, \sum b_i x_i^q)$ の写像族に対して、$d$-正則性が満たされる条件は何か？ また、球面上のファイブレーションが存在するのはいつか？

主な発見

• $C^\ell$ 写像 $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^k$ が非孤立な臨界集合をもつとき、原点まわりのチューブ上でミルナー・レ・ファイブレーションが存在するための必要十分条件は、小さな球面との横断性を満たすことである。
• $d$-正則性は、球面上でのミルナー・ファイブレーションの存在にとって必要かつ十分である。ここで射影は $f/\|f\|$ で与えられる。
• 特異値集合が線形である写像に対して、$d$-正則性が保証されれば、ファイバー $f^{-1}(\ell)$ は原点を中心とするすべての小さな球面と横断的に交わる。
• 2つのファイブレーションの合成は、対応するエレスマン接続が整合的である限り、ファイブレーションである。この整合性は $d$-正則性のもとで保証される。
• 係数 $a_i, b_i$ が一般で $p,q \geq 2$ である写像族 $(f,g) = (\sum a_i x_i^p, \sum b_i x_i^q)$ は、ややきつい条件のもとで $d$-正則性を満たし、球面上のファイブレーションが存在することが保証される。
• 適切なホメオモルフィズムを被覆空間に適用することで、一般の特異値集合をもつ任意の実写像を、線形特異値集合をもつものに変換でき、$d$-正則性が成立する限りファイブレーション性が保たれる。