[論文レビュー] Fibrations meromorphes sur certaines varietes de classe canonique triviale

Ekaterina Amerik, Frédéric Campana|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 2005

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 22被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、標準束が自明な複素射影的多様体上のメラモーフィックなファイブレーションを調査し、特にハイパーカähler多様体と次数 >1 の自己準同型を焦点とする。一般に Picard 群が ℤ であるような多様体に対して、任意の有理的自己準同型は非自明なファイブレーションを保存できないことを証明し、その写像の力学的性質がザリスキー・tight に稠密であることを示し、フロップ後のホロモーフィックモデルによるファイブレーションの特徴付けを確立する。

ABSTRACT

Motivated by an example, due to Voisin, of a smooth simply-connected projective variety with trivial canonical class and cyclic Picard group, admitting a meromorphic endomorphism of high degree, we study meromorphic fibrations on certain varieties with trivial canonical class. We show (theorem 2.1) that any nontrivial meromorphic fibration of a variety with trivial canonical class and cyclic Picard group is in varieties of general type. Therefore, Voisin's endomorphism cannot preserve a fibration, at least in the generic case. As this example is symplectic, we study meromorphic fibrations on symplectic varieties. In dimension 4 (and in all dimensions modulo minimal model program) we get some results similar to Matsushita's. The main result here is theorem 3.6. We also study the relations between meromorphic endomorphisms and meromorphic fibrations. In particular, we prove that if an endomorphism does not preserve a fibration, then its general iterated orbit is Zariski-dense. We show that some power of an endomorphism preserves the "core" (a natural fibration constructed by the second author), and ask the similar question about the Iitaka fibration.

研究の動機と目的

• 標準束が自明で Picard 群が ℤ である多様体上の有理的自己準同型が、非自明なファイブレーションを保存するかどうかを同定すること。
• 有理的自己準同型の反復における不変性を用いて、その力学的性質をメラモーフィックなファイブレーションを通じて分析すること。
• 有理的自己準同型の反復における一般点の軌道がザリスキー・tight に稠密である条件を確立すること。
• Kodaira 次元が 0 のファイバーをもつ、非分解的ハイパーカähler 4-多様体上のファイブレーションを、フロップ後のホロモーフィックモデルによって特徴付けること。
• 非可算体上の関数体へと結果を拡張し、有理点のザリスキー稠密性を証明すること。

提案手法

• シュタイン分解と有理的自己準同型によるメラモーフィックなファイブレーションの不変性を用いて、軌道の構造を分析する。
• ファイブレーション理論と崩壊幾何学を適用し、ハイパーカähler 4-多様体上での一般ファイバーの Kodaira 次元が 0 であるファイブレーションが、フロップ後にホロモーフィックモデルをもつことを示す。
• 楕円ファイブレーションのモノドロミーとモジュラー性を用いて、ファイバー上に作用する自己同型群の位数を評価する。
• 乗法マップと商写像の構成を用いて、有理的自己準同型とモジュラー曲線、およびその有理型性を関連付ける。
• 特定の N に対してモジュラー曲線 X₀(N) の有理型性に関する結果を適用し、自己同型群の位数を評価する。
• Néron-Severi 群と標準束の理論を適用し、K_X=0 かつ NS(X)≅ℤ を満たす多様体上のファイブレーションが一般型であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準束が自明で Picard 群が ℤ である滑らかな射影的多様体上に、次数 >1 の有理的自己準同型が非自明なファイブレーションを保存できるか。
• RQ2 有理的自己準同型の反復における一般点の軌道が、このような多様体上でザリスキー・tight に稠密である条件は何か。
• RQ3 Kodaira 次元が 0 のファイバーをもつ非分解的ハイパーカähler 4-多様体上では、任意のメラモーフィックなファイブレーションがフロップ後にホロモーフィックモデルをもつか。
• RQ4 非定数のモジュラーを持つ ℙ¹ 上の楕円ファイブレーションのファイバー上に作用する自己同型群の位数にどのような上限が存在するか。
• RQ5 K_X=0 かつ Pic(X)=ℤ を満たす多様体上に次数 >1 の有理的自己準同型が存在する場合、非可算体 F 上の関数体において、有理点の集合がザリスキー・tight に稠密であるか。

主な発見

• K_X=0 かつ NS(X)≅ℤ を満たす滑らかな射影的多様体 X に対して、0<dim(B)<dim(X) を満たす任意の有理的ファイブレーション g:X⇢B は一般型でなければならない。
• Pic(X)=ℤ を満たす、次数 >1 の有理的自己準同型 f:X⇢X に対して、一般点の反復による軌道は X 全体にザリスキー・tight に稠密である。
• Kodaira 次元が 0 のファイバーをもつ非分解的ハイパーカähler 4-多様体上では、任意のメラモーフィックなファイブレーションは、1回のフロップによってホロモーフィックモデルをもつ。
• 非定数のモジュラー写像 j:B→ℙ¹ を持つ ℙ¹ 上の楕円ファイブレーションのファイバー上に作用する自己同型群の位数は、210ν で有界される。ここで ν は j の写像の次数である。
• 非可算体 F 上で、K_X=0、Pic(X)=ℤ、および次数 >1 の有理的自己準同型をもつ多様体 X に対して、有限次拡大 L が存在し、X(L) が X においてザリスキー・tight に稠密である。
• ℙ⁵ 内の滑らかな立方体4-多様体の直線のファノ多様体は、仮定を満たす具体的な例であり、次数 16 の有理的自己準同型をもつ。