[論文レビュー] Fibre Bundles, Jet Manifolds and Lagrangian Theory. Lectures for Theoreticians

G. Sardanashvily|ArXiv.org|Aug 13, 2009

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 20被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、線形束、ジャンプ多様体、および重み付き多様体を用いて、古典場理論の厳密な数学的基盤を提供し、ラグランジュ場理論を幾何学的に定式化する。幾何的構造と場の運動方程式との間の関係を確立し、ジャンプバンドルと主接続を用いて場理論を統一的に扱う枠組みを提示する。主な結果として、曲率、平坦接続、および場配置におけるゲージ不変性が得られる。

ABSTRACT

In contrast with QFT, classical field theory can be formulated in a strict mathematical way by treating classical fields as sections of smooth fibre bundles. Addressing to the theoreticians, these Lectures aim to compile the relevant material on fibre bundles, jet manifolds, connections, graded manifolds and Lagrangian theory. They follow the perennial course of lectures on geometric methods in field theory at the Department of Theoretical Physics of Moscow State University.

研究の動機と目的

• 線形束とジャンプ多様体を用いて、古典場理論の数学的に厳密な幾何的定式化を提供すること。
• 滑らかな線形束の切断として古典場を統一的に記述し、場の運動方程式と対称性を体系的に取り扱えるようにすること。
• 場の理論的応用を目的として、主バンドルおよび関連バンドル上の接続、曲率、ゲージ変換の理論を発展させること。
• 反可換変数を扱うための道具として、重み付き多様体とグラスマン代数を導入すること。
• 無限次ジャンプ形式を、場理論における変分法とラグランジュ力学の基礎として確立すること。

提案手法

• 古典場の幾何的枠組みとして滑らかな線形束を用い、場はバンドルの切断として表現される。
• 場の微分を記述するためにk次ジャンプ多様体を用い、1次ジャンプバンドルが場の運動方程式の基礎をなす。
• 変分法とオイラー＝ラグランジュ方程式を座標に依存しない幾何学的手段で取り扱うために、無限次ジャンプ形式を適用する。
• 接続を接ベクトル値形式またはジャンプバンドルの切断として定義し、曲率と捩れの計算を可能にする。
• 特に超対称性およびゲージ理論の文脈において、反可換変数をモデル化するために重み付き多様体とグラスマン代数を導入する。
• 主バンドル上の標準的主接続を用いて、ゲージポテンシャルとゲージ変換を幾何学的に記述する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして線形束とジャンプ多様体の言語を用いて、古典場理論を厳密に定式化できるか？
• RQ2 特にゲージ理論において、接続と曲率が古典場理論において果たす幾何的役割は何か？
• RQ3 ジャンプバンドルと無限次ジャンプ形式は、場理論における変分法を座標に依存しない形でどのように定式化可能か？
• RQ4 重み付き多様体とグラスマン代数は、反可換場と超対称性を扱う自然な枠組みをどのように提供するか？
• RQ5 主バンドルおよび関連バンドルの構造は、場理論におけるゲージ対称性とゲージ変換をどのように記述できるか？

主な発見

• 古典場は滑らかな線形束の切断として厳密に定義され、場の運動方程式はジャンプバンドル形式によって導出される。
• 無限次ジャンプ形式は、変分法のグローバルかつ座標に依存しない枠組みを提供し、オイラー＝ラグランジュ方程式の導出を可能にする。
• 線形束上の接続はジャンプバンドルの切断と等価であり、曲率と捩れはフロリッシャー＝ニエンフイズ括弧を用いて定義される。
• 平坦接続は可積分な分布に対応し、その存在は曲率2形式の消滅と関連している。
• 主バンドル上の標準的主接続によりゲージポテンシャルが得られ、ゲージ変換は構造群を保存するバンドルの自己同型として実現される。
• 重み付き多様体とグラスマン代数は反可換場の自然な設定を提供し、ボディ写像とソール写像を用いて古典的および量子的類似の部分に分解可能である。