[論文レビュー] Field-measure correspondence in Liouville quantum gravity almost surely commutes with all conformal maps simultaneously

Scott Sheffield⋆, Menglu Wang|arXiv (Cornell University)|May 19, 2016

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 20被引用数 10

ひとこと要約

本論文は、リーマン面測度対応がリーマン面量子重力理論においてほとんど確実にすべての正則写像と同時に可換することを確立し、量子重力理論における長年の基礎的問題を解決した。モリファイアに基づく正則化と正則不変性の技法を用いて、著者らは、すべての正則写像の下で量子測度がほとんど確実に正しく変換されることを証明し、量子表面が同値類として定義される際の整合性を保証した。

ABSTRACT

In Liouville quantum gravity (or $2d$-Gaussian multiplicative chaos) one seeks to define a measure $μ^h = e^{γh(z)} dz$ where $h$ is an instance of the Gaussian free field on a planar domain $D$. Since $h$ is a distribution, not a function, one needs a regularization procedure to make this precise: for example, one may let $h_ε(z)$ be the average value of $h$ on the circle of radius $ε$ centered at $z$ (or an analogous average defined using a bump function supported inside that circle) and then write $μ^h = \lim_{ε o 0} ε^{\frac{γ^2}{2}} e^{γh_ε(z)} dz$. If $ϕ: ilde D o D$ is a conformal map, one can write $ ilde h = h \circ ϕ+ Q \log |ϕ'|$, where $Q = 2/γ+ γ/2$. The measure $μ^{ ilde h}$ on $ ilde D$ is then a.s.\ equivalent to the pullback via $ϕ^{-1}$ of the measure $μ^h$ on $D$. Interestingly, although this a.s.\ holds for each extit{given} $ϕ$, nobody has ever proved that it a.s.\ holds extit {simultaneously} for all possible $ϕ$. We will prove that this is indeed the case. This is conceptually important because one frequently defines a extit{quantum surface} to be an equivalence class of pairs $(D, h)$ (where pairs such as the $(D,h)$ and $( ilde D, ilde h)$ above are considered equivalent) and it is useful to know that the set of pairs $(D,μ^{h})$ obtained from the set of pairs $(D,h)$ in an equivalence class is itself an equivalence class with respect to the usual measure pullback relation.

研究の動機と目的

• リーマン面量子重力理論における場-測度対応が、すべての正則写像と同時に可換かどうかという未解決問題を解消すること。
• 量子測度がすべての正則写像の下でほとんど確実に正しく変換されることを確立し、量子表面の定義における整合性を保証すること。
• 個々の正則写像について既知のほとんど確実な結果を、すべての正則写像にわたる一様でほとんど確実な結果へと拡張すること。
• 正則同値と測度の持ち帰りの関係の下で、量子表面が同値類として定義される理論的基盤を明確にすること。

提案手法

• 径対称なモリファイアを用いた畳み込みに基づく正則化を用いて、リーマン面量子重力測度を弱収束の極限として定義する。
• ガウス型乗法的確率測度理論（Kahaneの理論）を適用し、極限測度の分布収束と一意性を保証する。
• 混合境界条件または自由境界条件をもつ領域におけるガウス自由場の反射拡張を用いて、境界挙動を扱う。
• 反射ガウス自由場のマルコフ性を用いて条件付き分布を制御し、モーメント推定を得る。
• 変数変換および座標変換技法を用いて、正則写像の下での測度の関係を分析する。
• 2の負の整数乗（2の累乗）である$\epsilon$の二進数列を用いて、すべての正則写像にわたる一様収束を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマン面量子重力理論における場-測度対応は、ほとんど確実にすべての正則写像と同時に可換か？
• RQ2 個々の正則写像の下での量子測度のほとんど確実な収束を、すべての正則写像にわたる一様収束へと強化できるか？
• RQ3 領域$D$上の量子測度$\mu^h$は、任意の正則写像$\phi$の下で、$\tilde{D}$上の測度$\mu^{\tilde{h}}$の引き戻しとほとんど確実に等しいか？
• RQ4 ガウス自由場の分布的性質を考慮すると、測度の正則不変性をすべての正則写像にわたって一様に確立できるか？

主な発見

• モリファイア正則化によって定義される量子測度$\mu^h$は、ほとんど確実にすべての正則写像と同時に可換である。
• 任意の正則写像$\phi: \tilde{D} \to D$に対して、$\tilde{D}$上の測度$\mu^{\tilde{h}}$は、$\phi^{-1}$による$\mu^h$の引き戻しとほとんど確実に等しい。
• 自由境界条件および混合境界条件の両方に対して、反射拡張されたGFFとそのマルコフ性を用いて結果が成立する。
• 異なる正則写像の下での正則化場の差の均一なモーメント推定に依存しており、これは$\epsilon$の二進数列によって制御される。
• 収束は分布収束ではなく、ほとんど確実な収束であり、モリファイアの選択に依存しない。
• この結果により、標準的な測度の持ち帰り関係の下で、同値類$(D,h)$として定義される量子表面が適切に定義されることを確認した。