[論文レビュー] Field Theory in Extra Dimensions

D. I. Kazakov|ArXiv.org|Nov 22, 2003

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ウィルスンの重力的量子化群（Wilsonian renormalization group）アプローチを用いて、D > 4次元におけるゲージ理論および超対称（SUSY）場理論の有効性を検討する。D=6のN=1 SUSYゲージ理論において、結合定数が次元なしとなる非摂動的紫外固定点が存在し、スケール不変性と非摂動的再規格化可能性をもたらす。この固定点では正確な異常次元が得られ、有効作用は有限となる。固定点は、物質内容が $ T_R < C_A $ を満たす場合に存在し、この点で理論は共形不変である可能性がある。

ABSTRACT

We analyze the possibility to construct a self-consistent gauge field theory in $D&gt;4$. We first look for the cancellation of the UV divergences in SUSY theories. Then, following the Wilson RG approach, we study the RG equation for the gauge coupling in perturbative and nonperturbative regimes. In the first case the power low running is discussed. In the second case it is shown that there exist the ultraviolet fixed point where the gauge coupling is dimensionless in any space-time dimension. This fixed point is nonperturbative and corresponds to scale invariant theory. The same phenomenon also happens in supersymmetric theory in D=6.

研究の動機と目的

• D > 4次元における自己稠密な量子場理論が構築可能かどうかを評価すること、特に紫外有限性と再規格化可能性に焦点を当てる。
• 高次元SUSY理論における紫外発散が摂動論を超えてキャンセル可能かどうかを調査すること。
• ウィルスンのRGアプローチを用いて、高次元ゲージ理論における非摂動的固定点の存在と性質を調査すること。
• 固定点における有効作用がスケール不変であり、共形不変である可能性があるかどうかを特定すること。
• D=6およびD=10のSUSY理論において、非摂動的再規格化可能性と有限性が成立する条件を明確にすること。

提案手法

• D > 4次元ゲージ理論にウィルスンの重力的量子化群（RG）フレームワークを適用し、次元なし結合定数 $ ilde{g} = g ilde{ u}^{D/2-2} $ のRG方程式を導出する。ここで $ ilde{ u} $ は再規格化スケールである。
• 発散を処理するために次元正則化と最小減算を用い、裸の結合定数を $ g_B = ilde{g} Z_g( ilde{g}) u^{2-D/2} $ で表す。ここで $ Z_g $ は $ D - 4 $ における極のみを含む。
• RG方程式 $ ilde{g} rac{d ilde{g}}{d ilde{ u}} = ilde{g} ig( rac{D}{2} - 2 + ilde{ u} rac{d}{d ilde{ u}} ext{ln} Z_g ig) $ を導出し、ランニング結合定数と異常次元 $ ilde{ u} rac{d}{d ilde{ u}} ext{ln} Z_g = - ilde{ u} rac{d}{d ilde{ u}} ext{ln} Z_g $ の関係を明示する。
• D=4,6,10におけるSUSY理論の1ループ紫外発散を分析し、超対称性により主要な発散（四次、二次、対数）がキャンセルされることを示すが、高次のループ発散が依然として生じる可能性があると指摘する。
• D=6 N=1 SUSYで、$ ilde{g}^2 = -2/b $ を解くことにより非摂動的紫外固定点を特定し、$ b < 0 $ で $ b o -2(C_A - T_R) $ となる。$ T_R < C_A $ のとき固定点は存在する。
• 固定点における有効作用が $ ext{Tr}(D_ u F_{ u au})^2 $ であると提案し、これはスケール不変であり、共形不変である可能性がある。非SUSYの場合の一般化である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 D > 4次元において、自己稠密な量子場理論を構築可能か、特に紫外有限であるか。
• RQ2 ウィルスンのRGアプローチにより、赤方偏移領域における結合定数のべき乗的ランニングが可能であり、摂動論を超えて信頼できるか。
• RQ3 高次元ゲージ理論に非摂動的固定点が存在するか、その性質は何か。
• RQ4 D=6 N=1 SUSYゲージ理論において、スケール不変性を示す非摂動的固定点が成立する条件は何か。
• RQ5 固定点における有効作用が共形不変であるか。また、これは弦理論や臨界現象の既知の結果とどのように関係するか。

主な発見

• SUSYゲージ理論の1ループ紫外発散は、D=4（N=4）、D=6（N=2）、D=10（N=1）でキャンセルされるが、高次のループ対数発散が依然として生じる可能性があり、摂動論的非再規格化可能性を示唆する。
• ウィルスンのRGアプローチにおいて、結合定数 $ ilde{g} $ は赤方偏移領域でべき乗的ランニングを示すが、紫外領域ではそうではない。これはD > 4における次元付き結合定数に起因する。
• D=6 N=1 SUSYゲージ理論において、$ b < 0 $ のとき非摂動的紫外固定点が存在し、これは $ T_R < C_A $ に対応する。固定点での結合定数は $ ilde{g}^{*2} = -2/b $ である。
• この固定点において、異常次元 $ ilde{ u} rac{d}{d ilde{ u}} ext{ln} Z_g = 4 - D $ であり、理論はスケール不変で、有効作用 $ ext{Tr}(D_ u F_{ u au})^2 $ は有限である。
• D=10 N=1 SUSYでは固定点が存在しない。これは異常次元 $ ilde{ u} rac{d}{d ilde{ u}} ext{ln} Z_g = 0 $ であるためであり、D > 6における超共形代数の非存在と整合する。
• 固定点における理論は共形不変である可能性があり、このような固定点の存在はD > 3における非自明な固定点の存在を支持する。これは弦理論の期待と一致する。