[論文レビュー] Fields on the Poincare group: arbitrary spin description and relativistic wave equations

Д. М. Гитман, A. L. Shelepin|ArXiv.org|Mar 16, 2000

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 92被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、スピンが任意の値である相対論的粒子を記述するための群論的枠組みを構築する。これは、ポアンカレ群上のスカラー場を用い、それらが従来のスピンテンソル場を生成する。可換演算子および離散的対称性（C、P、T）によるこれらのスカラー場の分類を通じて、有限成分の相対論的波動方程式および無限成分の正エネルギー方程式が導かれる。分数スピンに対しても同様に適用可能である。

ABSTRACT

In this paper, starting from pure group-theoretical point of view, we develop a regular approach to describing particles with different spins in the framework of a theory of scalar fields on the Poincare group. Such fields can be considered as generating functions for conventional spin-tensor fields. The cases of 2, 3, and 4 dimensions are elaborated in detail. Discrete transformations $C,P,T$ are defined for the scalar fields as automorphisms of the Poincare group. Doing a classification of the scalar functions, we obtain relativistic wave equations for particles with definite spin and mass. There exist two different types of scalar functions (which describe the same mass and spin), one related to a finite-dimensional nonunitary representation and another one related to an infinite-dimensional unitary representation of the Lorentz subgroup. This allows us to derive both usual finite-component wave equations for spin-tensor fields and positive energy infinite-component wave equations.

研究の動機と目的

• ポアンカレ群上のスカラー場を用いた、任意スピン粒子を一貫した群論的枠組みで記述する統一的かつ群論的に整合したフレームワークを提供すること。
• ポアンカレ群上のスカラー関数の分類から生じる量子数の物理的解釈を明確化すること。
• 同一の形式論から有限成分の相対論的波動方程式と無限成分の正エネルギー方程式の両方を導出すること。
• 離散的対称性（C、P、T）を、スカラー場に作用するポアンカレ群の自己同型として定義し、実装すること。
• ポアンカレ群上のスカラー場とミンコフスキー空間における従来のスピンテンソル場との間の対応関係を確立すること。

提案手法

• ミンコフスキー空間座標 $ x $ とローレンツ群変数 $ oldsymbol{z} $ に依存するスカラー場 $ f(x, oldsymbol{z}) $ を用い、これらがスピンテンソル場の生成関数として機能することを示す。
• 一般化正則表現（GRR）と調和解析を用い、ポアンカレ群上の可換演算子の固有値問題を通じてスカラー場を分類する。
• 離散的対称性（C、P、T）を、適切なポアンカレ群の自己同型として定義し、これらの変換がスカラー場空間を閉じることを保証する。
• スカラー関数の分類を通じて、ポアンカレ群の既約表現（irreps）を同定することにより、相対論的波動方程式（RWEs）を構築する。
• 特定のガンマ行列が $ ilde{ u}^ u ilde{ u}^ u = ext{diag}(k_1 - k_2) $ を満たすように、行列形式のRWEを導出する。例として $ ( ilde{p}_ u ilde{oldsymbol{ u}}^ u - sm)oldsymbol{ ilde{ u}} = 0 $ が得られる。
• 適切な既約表現と制約条件を用いて、得られたスピノル場を、ディラック＝ファイア＝パウリ、バーバ、ラリータ＝シュヴィンガー方程式と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ポアンカレ群上のスカラー場は、どのようにしてスピンと質量が明確に定義された従来のスピンテンソル場を生成するのか？
• RQ2 可換演算子によるスカラー関数の分類を通じて、ポアンカレ群の既約表現を導く群論的メカニズムは何か？
• RQ3 離散的対称性（C、P、T）は、どのようにしてポアンカレ群の自己同型としてスカラー場に一貫して定義されるのか？
• RQ4 同一の形式論の中で、有限成分と無限成分の相対論的波動方程式がどのようにして生じるのか？
• RQ5 この枠組みにおいて、整数スピンと半整数スピン粒子の物理的性質（例：エネルギーの正定値性や電荷密度）には、どのような相違が生じるのか？

主な発見

• ポアンカレ群上のスカラー場は、ローレンツ部分群の有限次元非ユニタリ表現に対応するか、無限次元ユニタリ表現に対応するかによって、有限成分または無限成分の相対論的波動方程式を生成する。
• 可換演算子によるスカラー関数の分類は、ディラック＝ファイア＝パウリ、バーバ、ラリータ＝シュヴィンガー方程式を含む標準的なRWEの導出を可能にする。
• 離散的対称性C、P、Tは、ポアンカレ群の自己同型として実装され、明示的な変換則が得られる：P変換では $ ilde{ u}(x) o (-1)^{2s} ilde{ u}(ar{x}) $、C変換では $ ilde{ u}^{n_1n_2}_{k_1k_2}(x) o (-1)^{s+n_1-n_2} ilde{ u}^{n_2n_1}_{k_2k_1}(x) $ となる。
• 半整数スピンでは、電流 $ j^0 = ar{ u} ilde{ u}^0 u $ は正定値であるが、スカラー積とエネルギー密度は不定値である。整数スピンでは逆に、それらの性質が逆転する。
• この形式論は、2+1次元ローレンツ群の無限次元ユニタリ既約表現を通じて、分数スピンを自然に記述できる。
• 電流 $ j^ u = ar{ u} ilde{ u}^ u u $ に対して連続の式 $ abla_ u j^ u = 0 $ が成り立ち、不変スカラー積が $ ar{ u} u $ として与えられる。これにより、正エネルギー状態において確率解釈と整合性が保たれる。