[論文レビュー] FieldsX -- An extension package for the xAct tensor computer algebra suite to include fermions, gauge fields and BRST cohomology

Markus B. Fröb|arXiv (Cornell University)|Aug 28, 2020

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 36被引用数 6

ひとこと要約

FieldsX は、曲がった時空におけるフェルミオン、ゲージ場、BRSTコホモロジーを扱えるように xAct のテンソル代数スイートを拡張する Mathematica パッケージである。$\bar{\theta}\theta$ 型スピンルール積の自動計算、群表現の分解を用いた Fierz 恒等式、異常およびゲージ不変作用素の解析のための BRST コホモロジーの計算を可能にし、$\nabla=1$ スーパーヤンミルズ理論において、超対称性および conformal 時空対称性の完全な記号的検証を実施した。

ABSTRACT

I present the tensor computer algebra package FieldsX, which extends the xAct suite of tensor algebra packages to perform computations in field theory with fermions and gauge fields. This includes the standard tools of curved-space $γ$ matrices, Fierz identities, invariant tensors on Lie algebras, arbitrary gradings and left and right variational derivatives, as well as the decomposition of spinor products into irreducible components following the approach of d'Auria, Fré, Maina and Regge [Annals Phys. 139 (1982) 93]. Lastly, it also includes functions to work with nilpotent differentials such as the BV-BRST differential for (supersymmetric) gauge theories and to compute their (relative) cohomologies, from which anomalies and gauge-invariant operators can be determined. I illustrate the use of the package with the example of $\mathcal{N}=1$ Super-Yang--Mills theory.

研究の動機と目的

• xAct が曲がった時空におけるフェルミオンおよびゲージ場の計算をサポートしていないというギャップを埋める。
• d’Auria–Fré–Maina–Regge のスピンルール積の分解を用いて、Fierz 恒等式の操作を自動化する。
• 異常検出およびゲージ不変作用素の特定のため、曲がった時空における BRST コホモロジーの体系的計算を可能にする。
• xPert や TexAct といった xAct の既存ツールとシームレスに統合し、摂動理論および TeX 出力のためのワークフローを提供する。

提案手法

• スピンルール、$\bar{\theta}\theta$ 積、ゲージ場に Lie 代数の構造定数を備えた新しいテンソル型を導入する。
• AChristoffelCD および ChristoffelCD テンソルによる曲がった空間の $\nabla$-行列およびスピン接続を実装する。
• スピンルール双一次形をトレース恒等式を用いて不変部分空間に分解する d’Auria–Fré–Maina–Regge 法を適用する。
• 交換関係の恒等式を用いた不変テンソルの簡約：$f_{abc} \operatorname{tr}(\mathfrak{t}^c \cdots) = \operatorname{tr}([\mathfrak{t}_a,\mathfrak{t}_b]\cdots)$。
• BRST コホモロジーの ansatz を効率的に生成するため、Multisets パッケージを統合する。
• 左/右微分を備えた変分計算をサポートし、スピンルール積の非可換性をカスタム `\cdot` 演算子で処理する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 xAct のテンソル代数システムは、非可換スピンルール場および曲がった空間の $\nabla$-行列を効率的に扱えるように拡張できるか？
• RQ2 完全なヤング射影子分解を用いずに、群表現の分解を用いてスピンルール双一次形の Fierz 恒等式を体系的に計算できるか？
• RQ3 曲がった時空における (超) ゲージ理論の BRST コホモロジーをアルゴリズム的に計算できるか？
• RQ4 このパッケージは、$\nabla=1$ スーパーヤンミルズ理論の超対称性および conformal 時空対称性を、作用の自動変分によって検証できるか？
• RQ5 リー代数における不変テンソルは、場の理論のラグランジアンにおける構造定数の積を単純化するために果たす役割は何か？

主な発見

• FieldsX は、作用の自動変分により、$\nabla=1$ スーパーヤンミルズ理論の超対称性および conformal 時空対称性を正しく検証した。
• このパッケージは、基本場および共変微分を用いて作用を表現し、運動項、相互作用項、補助場項を含む12項の正準形を導出した。
• トレース恒等式を用いた構造定数の積の簡約を自動化し、明示的なヤング射影子の計算を回避した。
• BRST コホモロジー機能により、ニルポテンス微分の解析を通じて異常およびゲージ不変作用素の特定が可能になった。
• xPert とのネイティブ統合により摂動計算が可能となり、TexAct との統合により TeX 出力が可能となり、Mathematica 内で完全な記号的ワークフローが実現された。
• d’Auria–Fré–Maina–Regge の分解を用いたスピンルール Fierz 恒等式の実装により、完全な不変部分空間への分解を経ずにスピンルール積の分解を正しく処理できるようになった。