[論文レビュー] Filling Length in Finitely Presentable Groups

S. M. Gersten, Tim Riley|arXiv (Cornell University)|Aug 3, 2000

Geometric and Algebraic Topology参考文献 8被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、有限生成群における埋め込み長さ関数の新しい上界を確立し、それが等周関数の対数と同時に実現可能な等径関数の積によって上界づけられることを示している。主な貢献は、既知の上界を改善する一般不等式を導出し、特に多項式的等周関数をもつ群に対して顕著な改善をもたらし、制御された等径関数を伴う指数的等周関数の存在に対する必要条件を提示することにある。

ABSTRACT

Filling length measures the length of the contracting closed loops in a null-homotopy. The filling length function of Gromov for a finitely presented group measures the filling length as a function of length of edge-loops in the Cayley 2-complex. We give a bound on the filling length function in terms of the log of an isoperimetric function multiplied by a (simultaneously realisable) isodiametric function.

研究の動機と目的

• 有限生成群における埋め込み長さ、等周関数、等径関数の間の定量的関係を確立すること。
• 等周関数と等径関数のデータの組み合わせを用いて、埋め込み長さ関数の既存の上界を改善すること。
• 特に指数的等周関数の境界と関連して、成長が制御されたAD対（等周関数、等径関数）の存在を調査すること。
• 指数的等周関数が同時に実現可能な等径関数をもつための必要条件を提示すること。
• ブリッドソンの群 Γₘ などの特定の群の埋め込み長さを、新しい上界を用いて分析すること。

提案手法

• 著者たちは、ヴァン・コンペン図における1セルおよび2セルの崩壊を用いて、自明ホモトピーな語 w を単位元に還元するすべてのホモトピー列における最大境界長の最小値として、埋め込み長さ関数 FL(w) を定義する。
• 彼らは、基点からの距離 i における境界のスターバイ・スターディアグラム Nᵢ として、ヴァン・コンペン図をネストされた部分図形に幾何的に分解する。
• 組合せ的面積の議論を用いて、i 番目のレベル Nᵢ の境界長が n/2 を超えるような i が多すぎると、総面積が既知の等周関数の上界を超えて矛盾が生じることを示す。
• この矛盾から、ある i ≤ 6Mn^{r−1} に対して境界長が ≤ n/2 であることが導かれ、これにより埋め込み長さの帰納的上界が得られる。
• 彼らはこれを、次数 r ≥ 2 の多項式的等周関数をもつ群に適用し、h₀(n) ≲ n^{r−1} log(n+1) という上界を得る。
• また、頂点の次数が有界な図形に対しては、埋め込み長さが直径の二次関数で上界づけられることを証明し、埋め込み円板図形に対して一般的な推論を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 既知の h₀ ≲ f₀ の上界を改善する形で、埋め込み長さ関数が等周関数と等径関数の関数として上界づけられるか？
• RQ2 多項式的等周関数をもつ群に対して、埋め込み長さ関数の最もタイトな上界は何か？
• RQ3 AD対 (f₀, g₀) = (exp g₀, g₀) の存在に対する必要条件は存在するか？ もし存在するなら、それは何か？
• RQ4 頂点の次数が有界な図形に対して、埋め込み長さ関数は直径の関数として上界づけられるか？
• RQ5 新しい上界は、ブリッドソンの Γₘ 群のような特定の群のクラスに対して、推定値を顕著に改善するか？

主な発見

• 埋め込み長さ関数 h₀(n) は、定数倍の意味で log(n+1) と同時に実現可能な等径関数 g₀(n) の積によって上界づけられ、すなわち h₀(n) ≲ log(n+1) · g₀(n) が成り立つ。
• 次数 r ≥ 2 の多項式的等周関数をもつ群に対して、埋め込み長さ関数は h₀(n) ≲ n^{r−1} log(n+1) を満たす。これは、自明な h₀ ≲ f₀ の上界に比べ顕著な改善である。
• 上記の上界 h₀(n) ≲ log(n+1) · g₀(n) は、f₀ ≲ exp g₀ ならば h₀ ≲ g₀² が AD 対の存在のための必要条件であることを示唆する。
• 任意の有限提示に対して、最大頂点次数 N をもつ図形の埋め込み長さは、C(N) · Diam(𝒟)² + n + 1 で上界づけられる。ここで C(N) は N のみに依存する。
• 埋め込み円板図形に対しては、埋め込み長さは面積に依存しない直径の二次関数で上界づけられる。
• 上記の上界 h₀(n) ≲ n^{r−1} log(n+1) は、ブリッドソンの Γₘ 群に対して、h₀ ≲ f₀ の上界から x^{2m+1} から x^m log x へと推定値を低下させる顕著な改善をもたらす。