[論文レビュー] Filtered instanton Floer homology and the homology cobordism group

Yuta Nozaki, Kouki Sato+1 more|arXiv (Cornell University)|May 10, 2019

Geometric and Algebraic Topology参考文献 41被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、フィルター付きインスタントンフローホモロジーと $ \mathrm{SU}(2) $-Chern-Simons汎関数から導かれる、向き付けられたホモロジー3次元球面 $ Y $ のための実数値ホモロジー3次元球面コボルディズム不変量 $ r_s(Y) $ の新しい族を導入する。これらの不変量は負定値コボルディズム不等式と連結和の公式を満たし、新たな結果をもたらす：無限個のホモロジー3次元球面は任意の定値4次元多様体の境界をもたない。また、特定のねじれ $ 1/n $-手術はホモロジー3次元球面コボルディズム群において線形独立である。本稿では、$ 5_2 $ の鏡像の $ 1/2 $-手術によって得られる双曲的3次元多様体について $ r_s \approx 0.00176489 $ を計算し、不変量の計算可能性と位相的感度を確認した。

ABSTRACT

For any $s \in [-\infty, 0] $ and oriented homology 3-sphere $Y$, we introduce a homology cobordism invariant $r_s(Y)\in (0,\infty]$. The values $\{r_s(Y)\}$ are included in the critical values of the $SU(2)$-Chern-Simons functional of $Y$, and we show a negative definite cobordism inequality and a connected sum formula for $r_s$. As applications, we obtain several new results on the homology cobordism group. First, we give infinitely many homology 3-spheres which cannot bound any definite 4-manifold. Next, we show that if the 1-surgery of $S^3$ along a knot has the Frøyshov invariant negative, then all positive $1/n$-surgeries along the knot are linearly independent in the homology cobordism group. In another direction, we use $\{r_s\}$ to define a filtration on the homology cobordism group which is parametrized by $[0,\infty]$. Moreover, we compute an approximate value of $r_s$ for the hyperbolic 3-manifold obtained by $1/2$-surgery along the mirror of the knot $5_2$.

研究の動機と目的

• フィルター付きインスタントンフローホモロジーを用いて、向き付けられたホモロジー3次元球面 $ Y $ に対して新しい実数値ホモロジー3次元球面コボルディズム不変量 $ r_s(Y) $ を定義すること。
• $ r_s $ の位相的応用を確立すること。具体的には、定値4次元多様体の境界をもたないという障害と、ホモロジー3次元球面コボルディズム群における線形独立性の両方を含む。
• 双曲的3次元多様体について、$ \mathrm{SU}(2) $-表現におけるChern-Simons値の数値的評価により $ r_s $ を計算すること。
• パrameter $ [0,\infty] $ でパrameter化された $ \Theta^3_\mathbb{Z} $ におけるフィルターを定義し、その代数的構造を豊かにすること。

提案手法

• 任意の $ s \in [-\infty,0] $ に対して、$ r \in (0,\infty] $ で、$ I^1_{[s,r]}(Y) $ における障害類 $[\theta]$ が消えるような $ r_s(Y) $ を、その上界として定義する。
• $ \mathrm{SU}(2) $-Chern-Simons汎関数の摂動を用いて、フィルター付きインスタントンフローホモロジーの枠組みから $ I^1_{[s,r]}(Y) $ を構成する。
• 負定値コボルディズム不等式を証明する：$ W $ が $ Y_1 $ から $ Y_2 $ への負定値コボルディズムであるとき、$ r_s(Y_2) \leq r_s(Y_1) $ が成り立つ。
• 連結和の公式を確立する：$ r_s(Y_1 \# Y_2) = \min\{ r_s(Y_1), r_s(Y_2) \} $ であり、これはフィルター付きフローホモロジーの連結和における性質に基づく。
• 8つの候補となる $ \mathrm{SU}(2) $-表現におけるChern-Simons汎関数の数値的評価により、$ S^3_{1/2}(5_2^*) $ に対して $ r_s $ を計算する。その中で最小値が不変量として特定される。
• Casson不変量とMayer-Vietoris完全列を用いて、8つの真の非アーベル $ \mathrm{SU}(2) $-表現の存在を検証し、計算の妥当性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フィルター付きインスタントンフローホモロジーを用いて、定値4次元多様体の境界をもたないことを検出できる、ホモロジー3次元球面の新しい実数値不変量を定義できるか？
• RQ2 $ r_s $ 不変量は負定値コボルディズム不等式と連結和の公式を満たすか？また、それらはホモロジー3次元球面コボルディズム群の構造にどのような意味を持つのか？
• RQ3 双曲的3次元多様体に対して $ r_s $ を計算できるか？また、それはホモロジー3次元球面コボルディズム群における非自明性を検出できるか？
• RQ4 ホモロジー3次元球面コボルディズム群 $ \Theta^3_\mathbb{Z} $ に $ r_s $ から誘導されるフィルターが存在するか？また、それによって既存の構造がどのように洗練されるか？
• RQ5 あるねじれの $ 1 $-手術のFrøyshov不変量が負であれば、そのねじれに沿ったすべての正の $ 1/n $-手術は $ \Theta^3_\mathbb{Z} $ において線形独立のままであるか？

主な発見

• $ r_s(Y) $ は任意の $ s \in [-\infty,0] $ に対してホモロジー3次元球面コボルディズム不変量であり、$ r_s(Y) \in (0,\infty] $ を満たし、連結和に関して安定である：$ r_s(Y_1 \# Y_2) = \min\{ r_s(Y_1), r_s(Y_2) \} $。
• コボルディズム制約のもとで $ r_s $ が非ゼロであることを用いて、任意の定値4次元多様体の境界をもたないホモロジー3次元球面の無限族を構成した。
• もし $ S^3_1(K) $ のFrøyshov不変量が負であれば、$ K $ に沿ったすべての正の $ 1/n $-手術は $ \Theta^3_\mathbb{Z} $ において線形独立である。これは $ r_s $-に基づく障害により示された。
• 双曲的3次元多様体 $ S^3_{1/2}(5_2^*) $ に対して、不変量 $ r_s $ は約 $ 0.00176489047864885113073962589709477793304925308209 $ に計算され、高精度での検証がなされた。
• $ r_s $-不変量は $ [0,\infty] $ でパrameter化された $ \Theta^3_\mathbb{Z} $ におけるフィルターを定義し、群に新たな代数的構造をもたらした。
• 本稿は、$ \pi_1(S^3_{1/2}(5_2^*)) $ の8つの非アーベル $ \mathrm{SU}(2) $-表現の存在を確認し、$ r_s $ の数値的計算を支持した。