[論文レビュー] Filtering equations for partially observable diffusion processes with Lipschitz continuous coefficients

Н. В. Крылов|ArXiv.org|Aug 13, 2009

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 14被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、Lipschitz連続係数を有する部分的に観測可能な拡散過程のフィルタリング密度の$L_p$-滑らかさを、フィルタリング方程式を発散型に再定式化することによって確立する。非退化性とLipschitz仮定の下で、フィルタリング密度が$H^1_p$に属することを証明し、係数の正則性が最小限であっても空間に関してほとんどLipschitz連続性および時間に関して$1/2$-Hölder連続性を達成する。

ABSTRACT

We present several results on smoothness in $L_{p}$ sense of filtering densities under the Lipschitz continuity assumption on the coefficients of a partially observable diffusion processes. We obtain them by rewriting in divergence form filtering equation which are usually considered in terms of formally adjoint to operators in nondivergence form.

研究の動機と目的

• 係数の正則性仮定を最小限に抑えた部分的に観測可能な拡散過程のフィルタリング密度の$L_p$-滑らかさを確立すること。
• フィルタリング理論に依存せず、解析的手法を用いることで、拡散係数$\theta\theta^*$に関する滑らかさ仮定を排除すること。
• 係数がLipschitz連続である限り、フィルタリング密度$\pi_t$が$x$に関してほとんどLipschitz連続であり、$t$に関して$1/2$-Hölder連続であることを証明すること。
• データの摂動に対してフィルタリング方程式の解が安定しており、$p \geq 2$の値に依存しないこと。
• 経路ごとの時間的・空間的Hölder連続性を導く埋め込み結果を確立すること。

提案手法

• Stochastic PDEの解析的ツールを活用するため、フィルタリング方程式を発散型に再定式化すること。
• Lipschitzおよび非退化性条件を満たす係数を有するSPDEに対して、$\mathbb{H}^1_p$-空間における事前推定を用いること。
• 最大$L_p$-推定および埋め込み定理を適用し、解の時間的および空間的Hölder連続性を導出すること。
• データの摂動に対する解の連続的依存性を、$L_p$-ノルムおよび予測可能測度の収束を用いて確立すること。
• 補間および埋め込み技術を用いて、異なる$p$値における$\mathcal{H}^1_p$-空間内での解の一意性を証明すること。
• 最大原理を用いて、初期データおよび強制項が非負である場合にフィルタリング密度が非負であることを保証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分的に観測可能な拡散過程の係数に対して、フィルタリング密度が$L_p$で滑らかであることを示すために必要な最小限の正則性仮定は何か？
• RQ2 フィルタリング理論に依存せず、SPDE技法のみを用いてフィルタリング密度の$L_p$-正則性を確立できるか？
• RQ3 係数がLipschitz連続である場合、時間的および空間的Hölder連続性の観点で、フィルタリング密度の最良の正則性は何か？
• RQ4 係数および初期データの摂動に対して、フィルタリング方程式の解はどのように振る舞うか？
• RQ5 異なる$L_p$-空間において、フィルタリングSPDEの解は一意的であり、かつ正の性質を保つのか？

主な発見

• Lipschitz連続係数および非退化性の下で、任意の$p \geq 2$に対してフィルタリング密度$\pi_t$は$H^1_p$に属する。
• 初期データが十分に正則な場合、$\pi_t(x)$は$x$に関してほとんどLipschitz連続であり、$t$に関して$1/2$-Hölder連続である。
• データ摂動に対してフィルタリング方程式の解は安定である：$n \to \infty$のとき$\|u^n - u\|_{\mathbb{H}^1_p(\tau \wedge T)} \to 0$。
• 異なる$p \geq 2$に対して、$\mathcal{H}^1_p(\tau)$内での解は一意的であり、解は$\mathcal{H}^1_{p_1}(\tau) \cap \mathcal{H}^1_{p_2}(\tau)$に属する。
• 埋め込み定理により経路的Hölder連続性が得られる：$2/p < \alpha < \beta \leq 1$に対して$E[\|u\|_{C^{\alpha/2 - 1/p}([0,\tau], H^{1-\beta}_p)}]^p \leq NT^{(\beta - \alpha)/p} a^{\beta - 1} I(a)$。
• $p(1 - \beta) > d$のとき、解は$E[\sup_x |u(\cdot,x)|_{C^{\alpha/2 - 1/p}}]^p \leq NT^{(\beta - \alpha)/p} a^{\beta - 1} I(a)$を満たし、空間的Hölder連続性を示す。