[論文レビュー] Filtering of Multidimensional Stationary Sequences with Missing Observations

Oleksandr Masyutka, Mikhail Moklyachuk+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2018

Advanced Computational Techniques in Science and Engineering参考文献 40被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、スペクトルの確実性および不確実性の下で、欠損観測と加法的ノイズを伴う多次元定常系列に対する最小二乗最適線形フィルタリング手法を開発する。スペクトルの確実性の場合、スペクトル特性および平均二乗誤差の公式を導出する。また、4つの異なる許容スペクトル密度クラスに対して、最小最大ロバスト推定手法を提案し、最小不利スペクトル密度および最小最大スペクトル特性の明示的方程式を提示する。

ABSTRACT

The problem of mean-square optimal linear estimation of linear functionals which depend on the unknown values of a multidimensional stationary stochastic sequence from observations of the sequence with a noise and missing observations is considered. Formulas for calculating the mean-square errors and the spectral characteristics of the optimal linear estimates of the functionals are proposed under the condition of spectral certainty, where spectral densities of the sequences are exactly known. The minimax (robust) method of estimation is applied in the case where spectral densities are not known exactly while some sets of admissible spectral densities are given. Formulas that determine the least favorable spectral densities and minimax spectral characteristics are proposed for some special sets of admissible densities.

研究の動機と目的

• 観測が欠損データにより不完全であり、ノイズによって汚されている場合に、多次元定常系列の未観測値に依存する関数型の最適線形推定問題を扱う。
• スペクトル密度が既知であるという仮定（スペクトルの確実性）の下で、最適線形推定のスペクトル特性および平均二乗誤差の明示的公式を導出する。
• スペクトル不確実性への拡張として、最小最大ロバスト推定法を適用し、最悪のスペクトル密度仮定下でも最適な性能を保証する。
• 4つの特定の許容スペクトル密度クラスについて、最小不利スペクトル密度および最小最大ロバストスペクトル特性を特徴付ける。
• ヒルベルト空間の射影およびスペクトル分解技術を用いて、欠損観測とノイズが存在する状況下での関数型のフィルタリングに対する体系的解決策を提供する。

提案手法

• 2次のモーメントが有限であるゼロ平均の確率変数の空間におけるヒルベルト空間射影法を用い、最適線形推定を導出する。
• 直交確率測度 Zξ(dλ) および Zη(dλ) を用いた多次元定常系列のスペクトル分解により、関数型および観測値を周波数領域で表現する。
• 最小平均二乗誤差を保証するため、L2(F + G)空間における制約付き最適化問題の解として、最適推定のスペクトル特性 h(eiλ) を導出する。
• 許容スペクトル密度の集合上で最適化問題を定式化し、最大誤差を最小化するようにすることで、最小最大ロバストアプローチを適用する。
• ラグランジュ乗数および符号関数を用いて制約を組み込み、部分微分包含 0 ∈ ∂∆D(F⁰, G⁰) を解くことにより、最小不利スペクトル密度 F⁰(λ) および G⁰(λ) の明示的方程式を導出する。
• 誤差汎関数 ∆(h; F, G) の構造を用いて最適性の必要条件を導出し、F⁰(λ) + G⁰(λ)、スペクトル密度の上限、および活性制約のインジケータ関数を含む行列方程式に帰着する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 観測が欠損データにより不完全であり、ノイズによって汚されている場合、未観測値に依存する多次元定常系列の関数型の最小二乗最適線形推定は、どのように計算可能か？
• RQ2 信号およびノイズのスペクトル密度が正確に既知である場合、最適推定のスペクトル特性および平均二乗誤差の明示的公式は何か？
• RQ3 信号およびノイズのスペクトル密度に不確実性が存在する場合、特にスペクトル密度の上限や許容密度の集合が与えられる場合、フィルタリング問題をどのようにロバスト化できるか？
• RQ4 特定の許容密度クラス（例：トレース有界、対角有界、行列ノルム有界、要素ごとの有界）において、最悪の推定誤差を最大化する最小不利スペクトル密度は何か？
• RQ5 与えられた許容集合内での最悪のスペクトル密度仮定下でも最適な性能を保証する最小最大ロバストスペクトル特性の構造は何か？

主な発見

• スペクトルの確実性下では、最適推定のスペクトル特性 h(eiλ) はヒルベルト空間における射影により導出され、平均二乗誤差は A(eiλ) および h(eiλ) を含むスペクトル積分で与えられる。
• クラス D₁δ × DU₁V に対して、最小不利スペクトル密度 G⁰(λ) は (r₀ᴳ(λ))∗(r₀ᴳ(λ))⊤ = α²γ(λ)(F⁰(λ) + G⁰(λ))² を満たし、|γ(λ)| ≤ 1 および Tr(F⁰(λ) − F₁(λ)) と Tr(G⁰(λ)) の制約を満たす。
• クラス D₂δ × DU₂V に対して、最小不利 G⁰(λ) は (r₀ᴳ(λ))∗(r₀ᴳ(λ))⊤ = (F⁰(λ) + G⁰(λ)) {α²kγk(λ)δkl} (F⁰(λ) + G⁰(λ)) を満たし、γk(λ) = sign(f⁰kk(λ) − f₁kk(λ)) および対角制約を満たす。
• クラス D₃δ × DU₃V に対して、最小不利 G⁰(λ) は (r₀ᴳ(λ))∗(r₀ᴳ(λ))⊤ = α²γ′(λ)(F⁰(λ) + G⁰(λ))B₁⊤(F⁰(λ) + G⁰(λ)) を満たし、γ′(λ) = sign⟨B₁, F⁰(λ) − F₁(λ)⟩ および行列内積制約を満たす。
• クラス D₄δ × DU₄V に対して、最小不利 G⁰(λ) は (r₀ᴳ(λ))∗(r₀ᴳ(λ))⊤ = (F⁰(λ) + G⁰(λ)) {αijγij(λ)} (F⁰(λ) + G⁰(λ)) を満たし、γij(λ) = sign(f⁰ij(λ) − f₁ij(λ)) および要素ごとの有界制約を満たす。
• すべてのクラスにおいて、最適推定の最小最大ロバストスペクトル特性は一貫して式 (11) で与えられ、最悪のスペクトル密度仮定下でもロバスト性を保証する。