[論文レビュー] Filtering Problem for Functionals of Stationary Processes with Missing Observations

Mikhail Moklyachuk, Maria Sidei|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 2016

Statistical and numerical algorithms参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、観測値がノイズで汚されており、欠損区間を含む状況下で、非観測の定常過程の関数型の最小二乗最適線形フィルタリング問題に取り組む。スペクトルの確実性のもとでは、スペクトル特性および平均二乗誤差の公式を導出する。スペクトルの不確実性のもとでは、最小最大ロバスト推定を展開し、特定の許容可能なスペクトル密度集合に対して、最も不有利なスペクトル密度および最小最大スペクトル特性を同定する。

ABSTRACT

The problem of the mean-square optimal linear estimation of the functional $Aξ=\ \int\limits_{R^s}a(t)ξ(-t)dt,$ which depends on the unknown values of stochastic stationary process $ξ(t)$ from observations of the process $ξ(t)+η(t)$ at points $t\in\mathbb{R} ^{-} \backslash S $, $S=\bigcup\limits_{l=1}^{s}[-M_{l}-N_{l}, \, \ldots, \, -M_{l} ],$ $R^s=[0,\infty) \backslash S^{+},$ $S^{+}=\bigcup\limits_{l=1}^{s}[ M_{l}, \, \ldots, \, M_{l}+N_{l}]$ is considered. Formulas for calculating the mean-square error and the spectral characteristic of the optimal linear estimate of the functional are proposed under the condition of spectral certainty, where spectral densities of the processes $ξ(t)$ and $η(t)$ are exactly known. The minimax (robust) method of estimation is applied in the case where spectral densities are not known exactly, but sets of admissible spectral densities are given. Formulas that determine the least favorable spectral densities and minimax spectral characteristics are proposed for some special sets of admissible densities.

研究の動機と目的

• 観測値に欠損区間が存在する場合の、定常過程の関数型の最適線形フィルタリング問題を解くこと。
• スペクトル密度が既知であるという仮定（スペクトルの確実性）のもとで、スペクトル特性および平均二乗誤差の明示的公式を導出すること。
• スペクトル不確実性の状況に拡張するため、最小最大ロバストアプローチを適用すること。
• 特定の許容可能なスペクトル密度クラスに対して、最小最大スペクトル特性および最も不有利なスペクトル密度を同定すること。
• スペクトル密度の仕様における不確実性に対して推定をロバストに保ち、最悪ケース誤差を最小化すること。

提案手法

• 平均二乗誤差の意味で最適な線形推定を導出するために、ヒルベルト空間の射影法を用いる。
• 絶対連続なスペクトル測度を有する定常過程に対して、ウィナー＝コルモゴロフのフィルタリング理論を適用する。
• スペクトル領域におけるウィーナー＝ホプフ型方程式の解を用いて、最適推定のスペクトル特性を導出する。
• 最適推定の存在を保証するために、スペクトル密度に最小性条件を課す。
• 凸最適化および極値問題を用いて、最小最大フレームワークにおける最も不有利なスペクトル密度を同定する。
• ゲーム理論的アプローチを用いて、許容可能なスペクトル密度集合上での最大誤差を最小化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 観測値に欠損区間が存在する場合、定常過程の関数型の最適線形推定はどのように計算可能か？
• RQ2 スペクトルの確実性のもとで、スペクトル特性および平均二乗誤差の明示的公式は何か？
• RQ3 スペクトル密度が正確に分かっていないが、与えられた許容可能な密度集合に属する場合、推定をどのようにロバスト化できるか？
• RQ4 最小最大の観点で推定誤差を最大にする「最も不有利な」スペクトル密度は何か？
• RQ5 与えられた許容可能なスペクトル密度クラスに対して、最悪ケース誤差を最小化する「最小最大スペクトル特性」は何か？

主な発見

• スペクトルの確実性のもとでは、本稿は関数型 $ A\xi = \int_{\mathbb{R}^s} a(t)\xi(-t)\,dt $ の最適線形推定におけるスペクトル特性および平均二乗誤差の明示的公式を導出する。
• 最小最大ロバストケースでは、特定の許容可能な密度クラス内での最も不有利なスペクトル密度を同定し、推定誤差を最大にする。
• 最小最大スペクトル特性は、許容可能なスペクトル密度集合上での凸最適化問題の解として導出される。
• 最も不有利なスペクトル密度は、信号プロセスおよびノイズプロセスのスペクトル密度を含む極値問題の解として特徴付けられる。
• 最小最大アプローチにより、許容可能なスペクトル密度の全クラスにわたる最悪ケース平均二乗誤差が最小化される。
• 本稿の結果は、欠損観測区間およびスペクトル不確実性を含む既存のフィルタリングおよび推定フレームワークを一般化し、不完全なデータおよびモデルの曖昧性下でもロバストな解決策を提供する。