[論文レビュー] Final solution of Protasov-Comfort's problem on minimally almost periodic group topologies

Dikran Dikranjan, Dmitri Shakhmatov|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2014

Advanced Topology and Set Theory参考文献 14被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、アーベル群が最小的ほぼ周期的（MinAP）群位相をもつための必要十分条件として、その群がマークフ・ザリスキ位相において連結であることであることを証明することで、プロタソフ＝コムフォートの問題を完全に解決している。主な結果は、すべての有界でないアーベル群、特に非可算な群を含むすべての群が、このような位相をもつことである。これは、アーベル群におけるMinAP群位相の存在および実現可能性に関する長年の未解決問題を解消する。

ABSTRACT

We prove that an abelian group admits a minimally almost periodic (MinAP) group topology if and only if it is connected in its Markov-Zariski topology. In particular, every unbounded abelian group admits a MinAP group topology. This answers positively a question set by Comfort, as well as several weaker forms proposed recently by Gabriyelyan. Using this characterization we answer also two open questions of Gould. We prove that a subgroup H of an abelian group G can be realized as the von Neumann kernel of G equipped with some Hausdorff group topology if and only if H is contained in the connected component of zero of G with respect to its Markov-Zariski topology. This completely resolves a question of Gabriyelyan, as well as some of its particular versions which were open.

研究の動機と目的

• アーベル群が最小的ほぼ周期的（MinAP）群位相をもつための条件を同定するという未解決問題を解消すること。
• すべての有界でないアーベル群がMinAP位相をもつのかというコムフォートの問いに答えること。
• ハウスドルフ群位相のもとで、アーベル群の部分群として実現可能なフォン・ノイマン核を同定すること。
• ギャブリエルヤンおよびゴールドの未解決問題、特にMinAP位相とフォン・ノイマン核に関する問題を完全に解決すること。
• マークフ・ザリスキ位相の連結性を用いたMinAP群位相の位相的特徴づけを確立すること。

提案手法

• アーベル群におけるマークフ・ザリスキ位相を導入・分析し、この位相における連結性を主要基準とする。
• w-可除群の概念を用い、HM(𝕋)のべき乗への安定な埋め込みを構成することで、MinAP位相を実現する。
• T-列およびウルム＝カプランスキー不変量を用いて、無限大の先頭不変量をもつ有界アーベル群を分類する。
• 分解定理を用いて、有界でないアーベル群を有界部とw-可除部に分解し、それぞれがMinAP位相をもつことを示す。
• MinAP群の直積が再びMinAPであること、および適切な条件下でMinAP群の部分群がMinAP性を継承することを応用する。
• 可算群、特に有限非ゼロランクの群を取り扱うために、ニエンフイーズ群を基本例として用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての有界でないアーベル群は、最小的ほぼ周期的群位相をもつか？
• RQ2 アーベル群がMinAP群位相をもつための正確な位相的条件は何か？
• RQ3 ハウスドルフ群位相のもとで、アーベル群のどの部分群がフォン・ノイマン核として現れるか？
• RQ4 MinAP群位相の特徴づけを非可算アーベル群に拡張できるか？
• RQ5 マークフ・ザリスキ位相は、MinAP群位相の存在を決定づける役割を果たすか？

主な発見

• アーベル群が最小的ほぼ周期的群位相をもつための必要十分条件は、その群がマークフ・ザリスキ位相において連結であることである。
• すべての有界でないアーベル群、任意の濃度に対しても、最小的ほぼ周期的群位相をもつ。
• アーベル群 $ G $ の部分群 $ H $ が、あるハウスドルフ群位相のもとでフォン・ノイマン核として実現可能であるための必要十分条件は、$ H $ が $ G $ のマークフ・ザリスキ位相におけるゼロの連結成分に含まれることである。
• w-可除群のクラスには、有界ねじれでないすべての非可算アーベル群が含まれており、これらはHM(𝕋)のべき乗への安定な埋め込みによってMinAP群位相をもつ。
• 証明は、有界でないアーベル群を、無限大のウルム＝カプランスキー不変量をもつ有界部とw-可除部に分解するものであり、両方の部がMinAP位相をもつことを示す。
• この結果により、ギャブリエルヤンの部分群がフォン・ノイマン核として実現可能かどうかという問いが解決され、かつ可算群および有限生成群に関する先行結果が拡張される。