[論文レビュー] Finance Market Dynamics with Option Pricing

Joseph L. McCauley, Gemunu H. Gunaratne+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2006

Complex Systems and Time Series Analysis参考文献 6被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、時間的・状態的依存性を持つ拡散係数を有するマルコフ過程のスケーリング解を用いて一般化されたオプションプライシングモデルを提案する。これはブラック・ショールズPDEの拡張である。本稿では、広範なリターン分布のクラスに対して、リスク中立的価格付けのもとで、結果として得られるモデルがマルティンググールの性質を保つことを証明する。一方で、肥大尾を動的要因に含めた場合にオプション価格が発散する理由も説明する。

ABSTRACT

We show how finance markets can be modeled empirically faithfully by using scaling solutions for Markov processes. Classes of exact scaling solutions are presented. We then show that our generalization of the Black-Scholes partial differential equation (pde) for nontrivial diffusion coefficients is equivalent to a Martingale in the risk neutral discounted stock price. Previously, this was proven for the case of the Gaussian logarithmic returns model by Harrison and Kreps, but we prove it for much a much larger class of returns models where the diffusion coefficient depends on both returns x and time t. That option prices blow up if fat tails in logarithmic returns x are included in the market dynamics is also explained.

研究の動機と目的

• ガウス分布の仮定を越えて、ファイナンス市場ダイナミクスをモデル化するより一般的な枠組みを構築すること。
• ブラック・ショールズPDEを、株価リターンと時間の両方に依存する拡散係数を含める形に拡張すること。
• 一般化されたモデルが、広範なリターンプロセスのクラスに対して、リスク中立的測度のもとでマルティンググール性を保つことを証明すること。
• 対数リターンに肥大尾が含まれる場合にオプション価格が発散する理由を説明すること。

提案手法

• 金融市場ダイナミクスをモデル化するため、マルコフ過程の正確なスケーリング解を導出する。
• 拡散係数をリターンxと時間tの両方に依存させる形で、ブラック・ショールズ偏微分方程式を一般化する。
• リスク中立的価格付け理論を適用し、割引株価プロセスにおけるマルティンググール性の同等性を示す。
• 確率的微積分学を用いて、非自明な拡散係数のためのマルティンググール条件を確立する。
• 一般化されたPDEフレームワークを用いて、肥大尾を伴う対数リターンにおけるオプション価格の挙動を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間的・状態的依存性を持つ拡散係数を有するマルコフ過程は、現実のファイナンス市場ダイナミクスをどのようにモデル化できるか？
• RQ2 一般化されたブラック・ショールズPDEは、どのようなリターンモデルのクラスにおいても、リスク中立的測度のもとでマルティンググール性を保つのか？
• RQ3 なぜ、対数リターン分布に肥大尾が含まれる場合にオプション価格が無限大に発散するのか？
• RQ4 非ガウス的リターンダイナミクス下でオプション価格が発散する背後にある数学的メカニズムは何か？

主な発見

• 時間的・状態的依存性を持つ拡散係数を有する一般化されたブラック・ショールズPDEは、リスク中立的割引株価プロセスにおいて、マルティンググールと同等である。
• 従来の結果よりもはるかに広いクラスのリターンモデルに対して、マルティンググール同等性が証明されており、非ガウス分布を含む。
• 対数リターンに肥大尾が存在する場合、PDEにおける拡散係数の影響が無限大に成長するため、オプション価格が発散する。
• スケーリング解フレームワークは、ガウス分布の仮定を越えて、金融市場ダイナミクスを経験的に忠実に再現可能である。