[論文レビュー] Financial Valuation of Mortality Risk via the Instantaneous Sharpe Ratio: Applications to Pricing Pure Endowments

Moshe A. Milevsky, S. David Promislow+1 more|ArXiv.org|May 9, 2007

Insurance, Mortality, Demography, Risk ManagementSocial Sciences参考文献 17被引用数 21

ひとこと要約

本稿は、純終身保険などの死亡率に依存する契約について、不完全市場における分散不能な確率的死亡率リスクを評価するために瞬間シャープ比を用いたリスクベースの価格設定フレームワークを提案する。無限に多くの契約がある場合でも、死亡率が確率的である限り、正のリスクプレミアムが持続することを示しており、これは分散不能なシステミックリスクを反映している。

ABSTRACT

We develop a theory for pricing non-diversifiable mortality risk in an incomplete market. We do this by assuming that the company issuing a mortality-contingent claim requires compensation for this risk in the form of a pre-specified instantaneous Sharpe ratio. We prove that our ensuing valuation formula satisfies a number of desirable properties. For example, we show that it is subadditive in the number of contracts sold. A key result is that if the hazard rate is stochastic, then the risk-adjusted survival probability is greater than the physical survival probability, even as the number of contracts approaches infinity.

研究の動機と目的

• 大数の法則による完全な分散を仮定する伝統的アクチュアリー手法の限界を是正すること。
• 死亡率リスクが完全にヘッジできない不完全市場における純終身保険の価格設定をモデル化すること。
• ハザードレートが確率的過程に従うという、分散不能なリスク要因としての確率的死亡率リスクを扱うこと。
• 投資家のリスク回避性を瞬間シャープ比を通じて組み込む価値評価フレームワークを開発すること。
• 総合的リスクプレミアムを有限ポートフォリオリスクと確率的死亡率リスクの2つの成分に分解すること。

提案手法

• 保険会社が死亡率リスクを負担する対価として、事前に指定された瞬間シャープ比を要求すると仮定する。
• ハザードレートを平均回帰型拡散過程としてモデル化し、ボラティリティも確率的とする：$ d\tilde{\lambda}_t = a dt + b(\tilde{\lambda}_t - \underline{\lambda}) dW^\lambda_t $。
• フェインマン＝カックの定理を用いて、リスク調整済み生存確率に関する非線形PDEを導出し、線形PDEに変換することで解く。
• リスクプレミアムを、実際の価格とリスク中立的価格の差として定義し、有限ポートフォリオリスク成分と確率的死亡率リスク成分に分解する。
• 支払額が満期Tまでの生存に依存する純終身保険に理論を適用する。
• 表現 $ P^{(n)} = F \varphi^{(n)} $ および $ P^{\alpha 0} = F \varphi^{\alpha 0} $ を用い、$ \varphi^{\alpha 0} $ がシャープ比を含むPDEを満たすことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヘッジが非滑らかである不完全市場において、どのように死亡率リスクを価格設定できるか？
• RQ2 ハザードレートが確率的である場合、保険契約数が無限に近づくにつれて、1契約あたりのリスクプレミアムはどのように変化するか？
• RQ3 瞬間シャープ比を用いて、純終身保険の整合的で経済的に意味のある価格設定式を導出できるか？
• RQ4 リスクプレミアムは、有限ポートフォリオリスクと確率的死亡率リスクにどのように分解されるか？
• RQ5 ハザードレートが確率的である場合、ポートフォリオが非常に大きくなった極限でもリスクプレミアムは消えるのか？

主な発見

• 1契約あたりのリスクプレミアムは契約数に対して劣加法的であり、一貫性のあるリスク測度の重要な性質を満たしている。
• ハザードレートが決定論的である場合、契約数が無限に近づくにつれて、1契約あたりのリスクプレミアムはゼロに収束し、分散の恩恵に合致する。
• ハザードレートが確率的である場合、無限に多くの契約があっても、1契約あたりのリスクプレミアムは正の値を保ち続ける。これは、分散不能なリスクが存在することを示している。
• ボラティリティパラメータ $ b > 0 $ のとき、確率的死亡率リスクプレミアムは厳密に正であり、$ b = 0 $ のみでゼロとなる。これはシステミックリスクの存在を確認している。
• ハザードレートが確率的であっても、大規模なポートフォリオにおいて、リスク調整済み生存確率は物理的生存確率を上回る。
• 総合的リスクプレミアムは明確に2つの成分に分解され、1つは有限ポートフォリオサイズに起因し、もう1つは確率的死亡率に起因する。後者は漸近的にも持続する。