[論文レビュー] Finding a Nonnegative Solution to an M-Tensor Equation

Donghui Li, Hong-Bo Guan+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2018

Tensor decomposition and applications参考文献 16被引用数 20

ひとこと要約

本稿では、Mテンソル方程式の非負解を求めるために、逐次M行列方程式法（S-MEQM）と呼ばれる単調反復法を提案する。この手法は、固定されたM行列係数を持つ線形方程式系の逐次解法に基づいており、適切に初期化された場合、非負解への単調かつ線形収束を保証する。ヤコビ行列が特異となる場合にニュートン法が失敗する状況においても、本手法はロバストな代替手法を提供する。

ABSTRACT

We are concerned with the tensor equation with an M-tensor or Z-tensor, which we call the M- tensor equation or Z-tensor equation respectively. We derive a necessary and sufficient condition for a Z (or M)-tensor equation to have nonnegative solutions. We then develop a monotone iterative method to find a nonnegative solution to an M-tensor equation. The method can be regarded as an approximation to Newton's method for solving the equation. At each iteration, we solve a system of linear equations. An advantage of the proposed method is that the coefficient matrices of the linear systems are independent of the iteration. We show that if the initial point is appropriately chosen, then the sequence of iterates generated by the method converges to a nonnegative solution of the M- tensor equation monotonically and linearly. At last, we do numerical experiments to test the proposed methods. The results show the efficiency of the proposed methods.

研究の動機と目的

• 非負解を有するMテンソル方程式を効率的に解く反復法の開発を目的とする。
• ヤコビ行列が特異となる場合、特にゼロ成分を含む反復点でニュートン法が失敗する問題に対処することを目的とする。
• 線形部分問題における固定M行列係数を用いることで、非負解への単調収束を保証することを目的とする。
• 本手法の線形的かつ単調的収束が成立する条件を確立することを目的とする。
• 提案手法の効率性とロバスト性を、さまざまなテスト問題に対して数値的に検証することを目的とする。

提案手法

• 本手法は、Mテンソル構造に基づいて得られる固定M行列係数を持つ線形方程式系の列を構築することに基づく。
• 各反復において、同一の係数行列を用いて線形方程式系を解くことで、計算効率を確保する。
• 更新則は、誤差を単調に減少させるとともに、反復点の非負性を維持することを保証するように設計されている。
• 本手法は、ヤコビ行列の再計算を回避するための準ニュートン近似と解釈できる。
• 反復点が非負のままとなり、解へ単調に収束するように初期点が選択される。
• 収束速度を向上させるために、適応的パラメータを有する改良版であるA-ニュートン法が導入されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Mテンソル方程式が非負解を有するための条件は何か？
• RQ2 Mテンソル方程式の非負解へ単調に収束する反復法を設計できるか？
• RQ3 ヤコビ行列が特異である場合、S-MEQMの性能はニュートン型手法と比べてどうなるか？
• RQ4 パラメータαが収束行動および手法の効率性に与える影響は何か？
• RQ5 本手法は、複数の非負解を有する偶数次強Mテンソルに対しても拡張可能か？

主な発見

• Mテンソル方程式の非負解の存在について、必要十分条件が導出された。
• 初期点を適切に選択した場合、S-MEQM手法は非負解へ単調かつ線形に収束する。
• 数値実験の結果、α ∈ (1, 2) の範囲で本手法は α ∈ (0, 1] の場合よりも優れた性能を示したが、この範囲における収束理論は未解決のままである。
• A-ニュートン法は、すべてのテスト問題においてS-MEQMを上回り、反復回数と計算時間を著しく削減した。
• n=50の問題1において、α=1.0のA-ニュートン法は37.8回の反復と0.3294秒を要し、S-MEQMを著しく上回った。
• ニュートン法がゼロ成分におけるヤコビ行列の特異性により失敗する状況でも、本手法は安定かつ収束を維持した。