[論文レビュー] Finding a Winning Strategy for Wordle is NP-complete

Will Rosenbaum|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2022

Algorithms and Data Compression被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、Wordleを計算的意思決定問題として形式的に定義し、与えられたWordleインスタンスに対して勝利戦略が存在するかどうかを決定することがNP完全であることを証明している。著者たちは最小支配集合問題からの還元を用いてNP困難性を確立し、戦略木データ構造を用いて勝利戦略を多項式時間で検証できることを示し、NPに属することを確認した。

ABSTRACT

In this paper, we give a formal definition of the popular word-guessing game Wordle. We show that, in general, determining if a given Wordle instance admits a winning strategy is NP-complete. We also show that given a Wordle instance of size $N$, a winning strategy that uses $g$ guesses in the worst case (if any) can be found in time $N^{O(g)}$.

研究の動機と目的

• ターゲットワードリスト、許可された推測、ゲーム長を含む正確な入力モデルを用いて、Wordleを計算問題として形式的に定義すること。
• 与えられたWordleインスタンスに対して、勝利戦略が存在するかどうかを決定する計算的複雑性を調査すること。
• 勝利戦略が存在するかどうかを決定する問題がNP完全であることを確立し、それがよく知られた複雑性クラスに属することを示すこと。
• ゲーム長gが固定されている場合、最適な勝利戦略を|WI|^{O(g)}時間で見つけることができることを示すこと。これはgが定数であれば多項式時間である。
• 辞書Dが暗黙的（例えば有限オートマトンによって）定義される場合（そのサイズが入力サイズに対して指数的であっても）、NP属の結果が拡張可能であることを示すこと。

提案手法

• アルファベットΣ、語長d、許可された推測の辞書D、可能なターゲットワードのリストW、最大推測回数gからなるWordleインスタンスWI = (Σ, d, D, W, g)を定義する。
• d長のベクトル{0,1,2}^dを返すフィードバックオракルΩ_w(u)を導入し、文字の位置一致、部分一致、不一致を符号化する。繰り返し文字の処理には特別な扱いを施す。
• 戦略を、クエリと応答のシーケンスから次のクエリへの決定的関数として形式化する。成功とはg回以内にターゲットワードを特定できることとして定義する。
• 戦略木を用いて戦略を表現する。各ノードはクエリに対応し、各辺は可能なフィードバック応答に対応する。深さはgで制限される。
• 最小支配集合（MDS）問題を勝利戦略決定問題に還元することでNP困難性を証明する。グラフから、支配集合のサイズが≤Kである場合に限り勝利戦略が存在するようなWordleインスタンスを構築する。
• 戦略木が多項式サイズである場合に証明可能であることを示し、各ノードにおける可能なターゲットのフィルタリングが多項式時間で検証可能であることを示すことにより、NP属を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられたWordleインスタンスに対して、勝利戦略が存在するかどうかを決定する問題は計算的に困難か？
• RQ2 勝利戦略の存在は効率的に検証可能か？ また、NPに属するか？
• RQ3 ゲーム長gが固定されている場合、最適な勝利戦略を求める計算的複雑性はいかほどか？
• RQ4 許可された推測の集合が暗黙的（例えば有限オートマトンによって）定義される場合、NP完全性の結果は成り立つか？

主な発見

• 勝利戦略決定問題（WinningStrategy）— 与えられたWordleインスタンスに対して勝利戦略が存在するかどうかを決定する問題— はNP完全である。
• WinningStrategyのNP困難性は、最小支配集合問題（MDS）への還元によって確立され、Wordle戦略問題を解くことはMDSを解くのと同等以上に難しいことを示している。
• 問題はNPに属する。なぜなら、勝利戦略は多項式サイズの戦略木として表現可能であり、その木の正しさ（各ノードにおける可能なターゲットの正しくフィルタリングされていること）は多項式時間で検証可能だからである。
• 任意のゲーム長gが固定されたWordleインスタンスに対して、最適な勝利戦略は|WI|^{O(g)}時間で見つけることができる。gが定数であれば、これは多項式時間である。
• NP属の結果は、辞書Dが暗黙的（例えば有限オートマトンによって）定義される一般化されたWordleインスタンスに対しても拡張可能である。これは|D|が入力サイズに対して指数的であっても成り立つ。
• この結果は、LokshtanovとSubercaseaux（2022）のオープン問題3で考察されたより一般化されたモデルに対しても成り立つことを確認し、彼らのオープン問題1を解決した。