[論文レビュー] Finding all squared integers expressible as the sum of consecutive squared integers using generalized Pell equation solutions with Chebyshev polynomials

Vladimir Pletser|arXiv (Cornell University)|Sep 29, 2014

Advanced Mathematical Theories and Applications参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、1より大きい整数 $ a^2 $ から始まる $ M $ 個の連続する平方数の和が完全平方数となるようなすべての整数 $ s $ を特定する包括的な解析的手法を提示する。$ M $ が平方数でない場合、一般化されたペル方程式とチェビシェフ多項式を用いて無限個の解の族を生成する。$ M $ が平方数の場合、問題は有限個の平方差に還元され、すべての解を体系的に得ることができる。

ABSTRACT

Square roots $s$ of sums of $M$ consecutive integer squares starting from $a^{2}\geq1$ are integers if $M\equiv0,9,24$ or $33(mod\,72)$; or $M\equiv1,2$ or $16(mod\,24)$; or $M\equiv11(mod\,12)$ and cannot be integers if $M\equiv3,5,6,7,8$ or $10(mod\,12)$. Finding all solutions with $s$ integer requires to solve a Diophantine quadratic equation in variables $a$ and $s$ with $M$ as a parameter. If $M$ is not a square integer, the Diophantine quadratic equation in variables $a$ and $s$ is transformed into a generalized Pell equation whose form depends on the $M(mod\,4)$ congruent value, and whose solutions, if existing, yield all the solutions in $a$ and $s$ for a given value of $M$. Depending on whether this generalized Pell equation admits one or several fundamental solution(s), there are one or several infinite branches of solutions in $a$ and $s$ that can be written simply in function of Chebyshev polynomials evaluated at the fundamental solutions of the related simple Pell equation. If $M$ is a square integer, it is known that $M\equiv1(mod\,24)$ and $M=(6n-1)^{2}$ for all integers $n$; then the Diophantine quadratic equation in variables $a$ and $s$ reduces to a simple difference of integer squares which yields a finite number of solutions in $a$ and $s$ to the initial problem.

研究の動機と目的

• 与えられた $ M $ に対して、$ a^2 \geq 1 $ から始まる $ M $ 個の連続する平方数の和が $ s^2 $ に等しくなるようなすべての整数解 $ (a, s) $ を体系的に特定すること。
• 解の構造が $ M $ が平方数であるかどうかに依存することを明らかにし、それによってディオファントス方程式の構造が異なることの分類を行うこと。
• 一般化されたペル方程式とチェビシェフ多項式を用いた統一的な解析的枠組みを提供し、$ M $ が平方数でない場合にすべての解を生成すること。
• $ M $ が平方数の場合、問題が有限個の平方差に還元され、有限個の解に限定されることを示すこと。
• ルーカスのキャンナボール問題の先行研究を拡張し、$ M $ 個の連続する平方数の和が完全平方数となるようなすべての可能な $ M $ および対応する $ a, s $ を同定すること。

提案手法

• $ \sum_{k=0}^{M-1} (a+k)^2 = s^2 $ というディオファントス方程式を、パrameter $ M $ に依存する $ a $ と $ s $ の二次ディオファントス方程式に変換する。
• $ M $ が平方数でない場合、方程式を $ M \mod 4 $ に応じた形の一般化されたペル方程式に還元する。
• 関連する単純ペル方程式の基本解を用いて、チェビシェフ多項式を介して無限個の解の分岐を生成する。
• $ M $ が平方数の場合、方程式を整数の平方差として表現し、有限個の因数分解を解く問題に還元する。
• $ M = (6n-1)^2 $ の場合、$ X^2 - Y^2 = N $ の恒等式を偶数の因数対に適用し、$ X = s/(6n-1) $、$ Y = a + 6n(3n-1) $ から $ s $ と $ a $ を回復する。
• $ a < 0 $ のケースを除外し、$ a \geq 1 $ を満たす解のみを残す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの $ M $ の値に対して、$ M $ 個の連続する平方数の和が完全平方数になるか？
• RQ2 $ M $ が平方数でない場合、与えられた $ M $ に対してすべての整数解 $ (a, s) $ を体系的に生成する方法は何か？
• RQ3 この問題から生じる一般化されたペル方程式の無限個の解の分岐をパラメータ化する際、チェビシェフ多項式が果たす役割は何か？
• RQ4 $ M $ が完全平方数である場合、なぜ解が有限個に制限されるのか、そしてその解をどのように列挙できるか？
• RQ5 $ M \equiv 0,9,24,33 \mod 72 $ のような $ M $ のモジュラー制約が解の存在をどのように決定するか？

主な発見

• 整数解が存在するのは、$ M \equiv 0,9,24,33 \mod 72 $、または $ M \equiv 1,2,16 \mod 24 $、または $ M \equiv 11 \mod 12 $ の場合に限る。
• $ M $ が平方数でない場合、すべての $ a $ と $ s $ の解は、関連する一般化されたペル方程式の基本解を用い、関連する単純ペル方程式の基本解におけるチェビシェフ多項式の値によって生成される。
• $ M = 25 $ の場合、唯一の解は $ a = 0, s = 70 $ であるが、これは $ a \geq 1 $ を満たさない。しかし、これは既知の $ M = 24 $ の解に対応する。
• $ M = 289 = (6 \cdot 3 - 1)^2 $ の場合、$ N = 6960 $ の因数対は12組あるが、$ a_k \geq 1 $ を満たすのは7組に限られ、$ s_k $ は3128から29597の範囲で7つの有効な解が得られる。
• $ M $ が平方数である場合、$ M = (6n-1)^2 $ とすると、解の数は有限であり、$ N = 2n(3n-1)(6n(3n-1)+1) $ の偶数因数分解の数に依存する。
• 本手法により、すべての解が完全かつ解析的に分類され、因数対とチェビシェフ多項式を用いた $ a_k $ と $ s_k $ の明示的な公式が得られる。