[論文レビュー] Finding Angles for Quantum Signal Processing with Machine Precision

Rui Chao, Dawei Ding+3 more|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2020

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 28被引用数 35

ひとこと要約

本論文は、 halving-based アルゴリズムと capitalization 技法を用いて、 quantum signal processing の角度列をダブル精度演算で計算し、大次数変換（例：Hamiltonian simulation）を効率的に実行可能にする。

ABSTRACT

We describe an algorithm for finding angle sequences in quantum signal processing, with a novel component we call halving based on a new algebraic uniqueness theorem, and another we call capitalization. We present both theoretical and experimental results that demonstrate the performance of the new algorithm. In particular, these two algorithmic ideas allow us to find sequences of more than 3000 angles within 5 minutes for important applications such as Hamiltonian simulation, all in standard double precision arithmetic. This is native to almost all hardware.

研究の動機と目的

• 量子信号処理（QSP）および QSVT の角度列を見つける問題を動機づけ、形式化する。
• 安定な角度分解を可能にする新しい代数ツール（Cayley–Dickson アルゲブラ）を開発する。
• halving を一意分解ベースの分解ステップとして導入し、数値的安定性を向上させるキャピタリゼーションを導入する。
• 標準的なダブル精度で何千個もの角度を含むシーケンスを達成することで、実用的なスケーラビリティを示す。

提案手法

• QSP を、w および w^{-1} のラ Laurent 多項式上の 2x2 行列の補完と分解としてモデル化する。
• QSP に関連するユニタリ・パリティ要素を捉えるために Low および Haah 代数を用いる。
• 次数 d のユニタリを halves に分割して一意性を保証する halving ベースの分解を提案（Corollary 9）。
• 演算中の数値安定性を向上させるため、F(w) の先頭項を前置するキャピタリゼーションを導入する。
• F(w)F(w^{-1})+G(w)G(w^{-1})=1 を満たす実数 Laurent 多項式 G を得るため、根探索による補完を解く。
• パリティとユニタリ制約を最小二乗法で満たす再帰的分解アルゴリズム（Algorithm 1）を提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マシン精度で安定かつスケーラブルな古典アルゴリズムは、QSP/QSVT の角度列を見つけられるか？
• RQ2 halving は、以前の手法よりも数値安定性を改善する一意な樹状分解を提供するか？
• RQ3 キャピタリゼーションは大次数のQSP変換における数値安定性と実用的な実行時間にどう影響するか？
• RQ4 提案手法で実現可能な Hamiltonian simulation の実用的な限界（次数/長さ）は何か？
• RQ5 Low および Haah 代数は QSP 角度列の効率的な構築をどのように促進するか？

主な発見

• 標準的なダブル精度で 5 分以内に 3000 個を超える角度列の構築を可能にした。
• Halving は二分木構造での一意分解をもたらし、逐次法より数値安定性を改善する。
• キャピタリゼーションは経験的安定性を著しく向上させ、実際により大きい次数の多項式を扱えるようにした。
• 従来より2桁長い進化時間を持つ Hamiltonian simulation への適用性を示した。
• 再現性と普及の促進のため、オープンソースコードで手法を実装した。