[論文レビュー] Finding Community Structure with Performance Guarantees in Complex Networks

Thang N. Dinh, My T. Thai|arXiv (Cornell University)|Aug 19, 2011

Complex Network Analysis Techniques参考文献 27被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、理論的性能保証を伴う、複雑ネットワークにおけるモジュラリティ最大化のための2つの多項式時間アルゴリズムを提示する。最初のアルゴリズムは、べき則度分布を示すネットワークに対して定数因子の保証を持つ、同種のアルゴリズムとして初めての新規近似アルゴリズムである。2番目のアルゴリズムはスパースなメトリック定式化を導入し、線形計画法（LP）の制約を桁違いに削減することで、最大数え千ノード規模のネットワークを効率的に解けるようにし、実用的に最適またはほぼ最適のモジュラリティを維持する。

ABSTRACT

Many networks including social networks, computer networks, and biological networks are found to divide naturally into communities of densely connected individuals. Finding community structure is one of fundamental problems in network science. Since Newman's suggestion of using \emph{modularity} as a measure to qualify the goodness of community structures, many efficient methods to maximize modularity have been proposed but without a guarantee of optimality. In this paper, we propose two polynomial-time algorithms to the modularity maximization problem with theoretical performance guarantees. The first algorithm comes with a \emph{priori guarantee} that the modularity of found community structure is within a constant factor of the optimal modularity when the network has the power-law degree distribution. Despite being mainly of theoretical interest, to our best knowledge, this is the first approximation algorithm for finding community structure in networks. In our second algorithm, we propose a \emph{sparse metric}, a substantially faster linear programming method for maximizing modularity and apply a rounding technique based on this sparse metric with a \emph{posteriori approximation guarantee}. Our experiments show that the rounding algorithm returns the optimal solutions in most cases and are very scalable, that is, it can run on a network of a few thousand nodes whereas the LP solution in the literature only ran on a network of at most 235 nodes.

研究の動機と目的

• 既存のモジュラリティ最大化手法に理論的性能保証が欠けているという問題に対処すること。
• 従来の線形計画法（LP）アプローチが最大235ノードのネットワークに制限されていたスケーラビリティの限界を克服すること。
• 解の品質を維持しながら、メモリと時間の要件を大幅に削減する、効率的でスケーラブルなLPベースの手法を開発すること。
• べき則度分布を示すネットワークにおけるモジュラリティ最大化の理論的近似保証を確立すること。
• 大規模な実世界ネットワークにおいて、性能保証付きコミュニティ検出を実用的に展開できること。

提案手法

• ネットワークのスパarsityとべき則度分布を活用することで、モジュラリティ最大化のLPにおける制約数を削減する新しいスパースメトリック定式化を提案する。
• スパースLPの分数解に対してラウンドイング技術を適用し、有効なコミュニティ分割が得られるようにする。この手法は事後的な近似保証を備える。
• べき則度分布を示すネットワークに対して、最適モジュラリティの定数因子近似を保証する理論的近似アルゴリズムを導入する。
• 次数1のノード（リーフ）やその他の構造的モチーフを事前処理するための還元技術を用い、解法時間を加速する。
• スケーリングパラメータλを組み込むことで、マルチスケールモジュラリティ（Qλ）へとフレームワークを拡張し、理論的保証を維持する。
• 完全なLPとスパースLPの両定式化に同一のラウンドイング手順を適用することで、同一のモジュラリティ値を達成しつつ、著しい性能向上を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 理論的性能保証を伴う多項式時間近似アルゴリズムを、複雑ネットワークにおけるモジュラリティ最大化に設計できるか？
• RQ2 解の品質を損なわずに、LPベースのモジュラリティ最大化の計算複雑性をどのように低減できるか？
• RQ3 べき則度分布が、モジュラリティ最大化の近似可能性に及ぼす影響は何か？
• RQ4 理論的保証を維持しながら、大規模ネットワークへのスケーラビリティを実現できるスパースメトリック定式化を構築できるか？
• RQ5 実世界のネットワークインスタンスにおいて、本手法は従来のLPベース手法と比べて実行時間、メモリ使用量、解の品質の点でどのように差をつけるか？

主な発見

• 提案されたスパースメトリック定式化により、LP定式化における制約数が数百万から数100にまで削減され、最大1,589ノードのネットワークの解法が可能になった。
• テストした最大のネットワーク（1,589ノード）は3秒未満で解かれたが、先行研究では10,000秒および12GBのメモリ制限内で解けなかった。
• スパースLP定式化は、中規模ネットワークにおいて、元のLP定式化と比較して10〜150倍の高速化を達成した。
• ラウンドイングアルゴリズムは、すべてのテスト済み実世界ネットワークインスタンスで最適またはほぼ最適の解（最適値の0.1％以内）を生成した。
• 近似アルゴリズムは、べき則度分布を示すネットワークに対して、最適モジュラリティの定数因子近似保証を提供するが、これは文献上初めての成果である。
• このフレームワークは、同じ理論的保証と性能向上を維持しながら、マルチスケールモジュラリティ（Qλ）へ自然に拡張可能である。