[論文レビュー] Finding Descriptions of Polytopes via Extended Formulations and Liftings

Volker Kaibel, Andreas Loos|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2011

Optimization and Packing Problems参考文献 6被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、拡張定式化から多面体の線形記述を導出するためのリフトに基づく手法を提案する。リフト関数を用いて点を元の空間に再帰的に写像することで妥当性を保持する。この手法により、パス集合多面体および小集合多面体に対する新たな、より単純な証明が可能となり、整数計画における対称性の打破に現れる特別なナップサック多面体であるオルビサック多面体の、初めての明示的線形記述が得られる。

ABSTRACT

We describe a technique to obtain linear descriptions for polytopes from extended formulations. The simple idea is to first define a suitable lifting function and then to find linear constraints that are valid for the polytope and guarantee lifted points to be contained in the extension. We explain the technique at an example from the literature (matching polytopes), obtain new simple proofs of results on path-set polytopes and small-cliques polytopes, and finally exploit the technique in order to derive linear descriptions of orbisacks, which are special Knapsack polytopes arising in the context of symmetry breaking in integer programming problems.

研究の動機と目的

• 直接の射影錐計算が困難な場合に、拡張定式化から多面体の線形記述を体系的に導出するための手法を開発すること。
• リフト法の有効性を、パス集合多面体および小集合多面体に関する既知の結果に対する代替的でより単純な証明を通じて示すこと。
• 整数計画における対称性の打破に現れる特別なナップサック多面体、オルビサック多面体の、初めての明示的線形記述をリフト技術を用いて得ること。
• リフト法が従来の射影錐法に比べて、特に頂点情報の活用によって妥当な不等式を構築する観点で、何が優れているかを強調すること。
• リフト関数とその拡張定式化との整合性に注目することで、多面体記述の導出を簡略化するフレームワークを確立すること。

提案手法

• 目標となる多面体 P を含む集合 R ⊆ R^n 上に、すべての x ∈ R に対して σ(λ(x)) = x を満たすリフト関数 λ: R → Rd を定義する。ここで σ は射影写像である。
• リフトされた点 λ(x) が拡張定式化 Q ⊆ Rd に含まれるように保証し、x ∈ P がかつて λ(x) ∈ Q であることと同値になるようにする。
• すべての x ∈ P に対して λ(x) を満たす制約を同定することで、P に対する妥当な線形不等式を導出する。
• 拡張定式化 Q の構造（例えば、二重化されたグラフ上の完全マッチング多面体）を活用して、リフト関数の構築をガイドする。
• 頂点集合と目標多面体の面の次元を分析することで、導出された不等式が P に対して必要かつ十分であることを検証する。
• オルビサックにおける臨界行やブロック不等式といった頂点の組合せ的特徴付けを活用し、不等式のファセット定義性と冗長性の欠如を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 射影錐の計算を避けて、拡張定式化を体系的に用いて元の空間における多面体の線形記述を導出する方法は何か？
• RQ2 リフト法は、パス集合多面体および小集合多面体に関する既知の多面体的結果について、より単純で直感的な証明を提供できるか？
• RQ3 オルビサックの線形記述の構造は何か？ また、拡張定式化からリフトを用いてどのように導出できるか？
• RQ4 概念的明瞭性と計算可能性の観点から、リフト法は従来の射影錐法に比べて、どのような点で優れているか？
• RQ5 拡張定式化からの頂点に基づく情報は、多面体構造を保持する妥当なリフト関数を構築するために、どのように活用できるか？

主な発見

• リフト法は、古典的な射影錐法とは対照的に、拡張定式化から線形記述を導出するための、概念的により単純な代替手法を提供する。
• リフト関数と頂点解析を活用することで、パス集合多面体および小集合多面体の線形記述に関する、新たな簡潔な証明が得られる。
• 本稿では、特別なナップサック多面体たるオルビサック多面体について、初めて完全かつ冗長性のない線形記述をリフト技術を用いて導出する。
• 解析により、(i,j) = (1,1) のとき x_{i,j} ≥ 0 および (i,j) = (1,2) のとき x_{i,j} ≤ 1 は、高次元の面に含まれるため、オルビサックにおいてファセット定義でないことが示される。
• 他のすべてのブロック制約から導かれる不等式は、それに対応する面の次元が 2p−1 であり、他のいかなる面にも含まれないため、ファセット定義である。
• τ ∈ {0,1,2,3}^p に対する頂点集合 X(τ) は、自明な不等式によって定義される面に含まれず、かつ τ' ≠ τ に対しては任意の X(τ') にも含まれないため、ブロック不等式の冗長性がないことが証明される。