[論文レビュー] Finding direct product decompositions in polynomial time

James B. Wilson|arXiv (Cornell University)|May 4, 2010

Finite Group Theory Research参考文献 30被引用数 19

ひとこと要約

本稿では、二重線形写像、可換環、群の代数的集合を活用して、置換群のRemak分解（つまり、直接的に分解不能な因子への分解）を決定的多項式時間で計算するアルゴリズムを提示する。主な貢献は、$p$-群のクラス2を標準的可換環 $C(P)$ を用いて特徴づけることで、力まかせの探索ではなく環論的手法を用いて効率的な分解を可能にする点にある。

ABSTRACT

A polynomial-time algorithm is produced which, given generators for a group of permutations on a finite set, returns a direct product decomposition of the group into directly indecomposable subgroups. The process uses bilinear maps and commutative rings to characterize direct products of p-groups of class 2 and reduces general groups to p-groups using group varieties. The methods apply to quotients of permutation groups and operator groups as well.

研究の動機と目的

• 置換群のRemak分解を計算する多項式時間アルゴリズムの開発。
• $p$-群において正規部分群の数が指数関数的に増加するため、直接因子の探索が計算的に不可能であるという問題を克服すること。
• 群の代数的集合と計算可能な正規部分群を用いて、置換群および作用群の商群への一般化。
• 行列群やその他の計算群の文脈に適用可能なフレームワークの提供。
• 群の乗法表によって与えられた場合に、正則表現を用いてほぼ線形時間で解けるアルゴリズムの確立。

提案手法

• 二重線形写像 $\mathsf{Bi}(P)$ 及びその関連する可換環 $C(P)$ を用いて、クラス2の $p$-群を特徴づける。ここで $C(P \times Q) \cong C(P) \oplus C(Q)$ が成り立つ。
• 環 $C(P)$ の構造を用いて、直接的に分解不能な $p$-群を同定する：$P$ が直接的に分解不能であるための必要十分条件は、$C(P)$ が局所環であり、$\zeta_1(P) \leq \Phi(P)$ であること。
• 群の代数的集合および語的・境界部分群を用いて一般群を $p$-群に還元し、$p$-群の解析による分解を可能にする。
• 可換環の多項式時間アルゴリズム（Ronyai [29]）を用いて $C(P)$ の完全に細分化された分解を計算し、これを $P$ のRemak分解に持ち上げる。
• Kantor-Luksの商群アルゴリズムを用いて置換群の商群を処理し、有限単純群の分類定理に依存する。
• ラティスに基づく部分群の統合を用いたマージアルゴリズムにより、部分的分解を統合して最終的な分解を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正規部分群の数が指数関数的に増加する $p$-群においても、置換群のRemak分解を多項式時間で計算可能か？
• RQ2 二重線形写像と可換環を用いて、クラス2の $p$-群における直接積分解をどのように特徴づけられるか？
• RQ3 群の代数的集合と語的部分群は、一般群の分解問題を $p$-群の問題に還元するために果たす役割は何か？
• RQ4 群が乗法表によって与えられた場合に、ほぼ線形時間でRemak分解を計算できるアルゴリズムは存在するか？
• RQ5 一様なフレームワークを用いて、作用群や行列群へのアルゴリズムの拡張は可能か？

主な発見

• 任意の置換群に対して、決定的多項式時間でRemak分解を計算するアルゴリズムが存在する。
• アルゴリズムは、個々の直接因子を事前に明示的に特定するのではなく、一度のパスで全分解を構築する。
• クラス2の $p$-群に対しては、$P$ が直接的に分解不能であることと、$C(P)$ が局所環であり、$\zeta_1(P) \leq \Phi(P)$ であることが同値であり、$P^p = 1$ のとき逆も成り立つ。
• 群の代数的集合論を用いて、置換群および作用群の商群への一般化が可能である。
• 群が乗法表によって与えられる場合、正則表現を用いて埋め込むことで、ほぼ線形時間のアルゴリズムが得られる。
• アルゴリズムは頑健であり、行列群に対しても拡張可能であることが示されており（補題6.6）、同じ複雑性保証が成り立つ。