[論文レビュー] Finding Diverse Minimum s-t Cuts

Mark de Berg, Andrés López Martínez+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2023

Advanced Graph Theory Research被引用数 1

ひとこと要約

この論文はk-多様な最小s-tカット問題を導入し、2つの測定基準（ペアワイズ和多様性とカバレッジ多様性）を用いて最小s-tカットの集合における多様性を最大化するための効率的なアルゴリズムを提案する。これらは、分配的ラティスの代数的構造を活用することで、部分モジュラー関数の最小化を用いて強多項式時間で解けることが示され、一方ボトルネック多様性測定基準（最小ペアワイズハミング距離）はk=3に対してもNP困難であることが示された。

ABSTRACT

Recently, many studies have been devoted to finding diverse solutions in classical combinatorial problems, such as Vertex Cover (Baste et al., IJCAI'20), Matching (Fomin et al., ISAAC'20) and Spanning Tree (Hanaka et al., AAAI'21). Finding diverse solutions is important in settings where the user is not able to specify all criteria of the desired solution. Motivated by an application in the field of system identification, we initiate the algorithmic study of k-Diverse Minimum s-t Cuts which, given a directed graph G = (V, E), two specified vertices s,t ∈ V, and an integer k > 0, asks for a collection of k minimum s-t cuts in G that has maximum diversity. We investigate the complexity of the problem for two diversity measures for a collection of cuts: (i) the sum of all pairwise Hamming distances, and (ii) the cardinality of the union of cuts in the collection. We prove that k-Diverse Minimum s-t Cuts can be solved in strongly polynomial time for both diversity measures via submodular function minimization. We obtain this result by establishing a connection between ordered collections of minimum s-t cuts and the theory of distributive lattices. When restricted to finding only collections of mutually disjoint solutions, we provide a more practical algorithm that finds a maximum set of pairwise disjoint minimum s-t cuts. For graphs with small minimum s-t cut, it runs in the time of a single max-flow computation. These results stand in contrast to the problem of finding k diverse global minimum cuts - which is known to be NP-hard even for the disjoint case (Hanaka et al., AAAI'23) - and partially answer a long-standing open question of Wagner (Networks 1990) about improving the complexity of finding disjoint collections of minimum s-t cuts.

研究の動機と目的

• ユーザーが望ましい解の基準を完全に指定できない状況において、k個の多様な最小s-tカットを選択する課題に対処すること。
• ペアワイズ和、カバレッジ、ボトルネック多様性の3つの自然な測定基準を用いて、最小s-tカットにおける多様性を形式化すること。
• 各多様性測定基準の下でk個の多様な最小s-tカットを求める計算の複雑性を調査すること。
• 特に最小カットサイズが小さいグラフに対して、互いに素な最小s-tカットの集合を効率的に見つける実用的で効率的なアルゴリズムを開発すること。
• 既知のグローバル最小カットにおけるNP困難性とは対照的に、互いに素な最小s-tカットを求める際の計算複雑性の改善という未解決の問題を解消すること。

提案手法

• ペアワイズハミング距離の和（dsum）、和集合のサイズ（dcov）、最小ペアワイズハミング距離（dmin）の3つの測定基準を用いて多様性を形式化する。
• dsumおよびdcov多様性最大化が、部分モジュラー関数の最小化を用いて強多項式時間で解けることを証明する。
• 最小s-tカットの順序付き集合と分配的ラティス理論との間の関係を確立し、効率的な最適化を可能にする。
• 最小s-tカットのペアワイズに素な集合を最大限に求めるより実用的なアルゴリズムを設計し、最小カット値が小さいグラフでは最大フロー計算1回分の時間で実行可能である。
• k=3におけるdmin多様性最大化問題のNP困難性を示すために、二部グラフにおける制約付き頂点被覆問題に還元する。
• 2固定3-DMCインスタンスからMin-3-DMCインスタンスへの変換を用い、制約付き頂点被覆問題への還元によりNP困難性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ペアワイズ和多様性測定基準では、k-多様な最小s-tカットを効率的に解けるか？
• RQ2 カバレッジ多様性測定基準は、最小s-tカットの文脈で多項式時間最適化に適しているか？
• RQ3 ボトルネック多様性（最小ペアワイズハミング距離）を最大化する際の複雑度は何か？
• RQ4 一般の多様性最大化とは対照的に、互いに素な最小s-tカットの集合を求めるより高速なアルゴリズムを開発できるか？
• RQ5 最小s-tカットの代数的構造（特にラティス性）は、標準的な部分モジュラー最小化を超えて効率的な最適化を可能にするか？

主な発見

• ペアワイズ和多様性（dsum）を用いたk-多様な最小s-tカット問題は、部分モジュラー関数最小化を用いて強多項式時間で解ける。
• カバレッジ多様性（dcov）バージョンについても、同じ部分モジュラー最適化フレームワークを用いて強多項式時間で解ける。
• 最小s-tカットのペアワイズに素な最大集合を求めるより実用的なアルゴリズムが存在し、最小カットサイズが小さいグラフでは1回の最大フロー計算時間で実行可能である。
• ボトルネック多様性測定基準（dmin）は、k=3に対してもNP困難な問題であることが、二部グラフにおける制約付き頂点被覆問題への還元により示された。
• 本研究は、Wagner（1990）が提起した長年の未解決問題を解消し、特定の多様性測定基準の下では、互いに素な最小s-tカットを求める計算複雑度の改善が可能であることを示した。
• 研究は、最小s-tカットの代数的構造、特にそのラティス性が、特定の多様性目的における効率的な最適化を可能にしていることを明らかにした。