[論文レビュー] Finding heaviest H-subgraphs in real weighted graphs, with applications

Virginia Vassilevska, Ryan Williams+1 more|ArXiv.org|Sep 4, 2006

Advanced Graph Theory Research参考文献 30被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、高速行列積を用いた強多項式時間アルゴリズムを提示し、実数重み付きグラフにおける重み付きH部分グラフの最大重み部分グラフの探索を実現した。頂点重み付きおよび辺重み付きの両ケースにおいて、時間計算量の上限を改善した。頂点重み付きグラフの場合、すべての頂点対に対する最大H部分グラフ問題に対してO(n^{t(ω,h)})時間のアルゴリズムを導入し、t(ω,h)は整数計画問題から導出される。また、長方形行列積を用いることで、重み付き三角形の検出にO(n^{2.575})時間で処理でき、従来の境界を顕著に改善した。

ABSTRACT

For a graph G with real weights assigned to the vertices (edges), the MAX H-SUBGRAPH problem is to find an H-subgraph of G with maximum total weight, if one exists. The all-pairs MAX H-SUBGRAPH problem is to find for every pair of vertices u,v, a maximum H-subgraph containing both u and v, if one exists. Our main results are new strongly polynomial algorithms for the all-pairs MAX H-SUBGRAPH problem for vertex weighted graphs. We also give improved algorithms for the MAX-H SUBGRAPH problem for edge weighted graphs, and various related problems, including computing the first k most significant bits of the distance product of two matrices. Some of our algorithms are based, in part, on fast matrix multiplication.

研究の動機と目的

• 固定された小さなグラフHに対して、実数重み付きグラフにおける重み付きH部分グラフを効率的に探索するアルゴリズムの開発。
• 特に頂点重み付きおよび辺重み付きの設定において、高速行列積技術を重み付き部分グラフ問題へ応用すること。
• すべての頂点対に対する最大H部分グラフ問題のバージョンを解くこと。この問題では、各頂点対に対して両方の頂点を含む重み付きH部分グラフの最大重みを求める。
• 辺彩色グラフにおける単色部分グラフやレインボー部分グラフの検出といった、類縁問題の既存アルゴリズムを上回ること。
• 実数行列の距離積の最も重要なビットを真に立方時間未満で計算すること。

提案手法

• 時間計算量を支配する指数t(ω,h)を計算するための小さな整数最適化問題を定義することで、行列積への還元を実施。
• 頂点重み付きグラフの場合、Hの頂点集合を3つの部分に分割し、モノクローマティックラベル付きHのコピーを検出するためにブール行列積を用いる。
• 標準の正方行列積よりも高速な長方形行列積を活用することで、指数t(ω,h)を改善し、より高速な実行時間を達成。
• 辺重み付きグラフの場合、色分けされた分割と行列積を組み合わせ、固定長の重み付きサイクルを検出する。
• 辺彩色グラフに対しては、辺を色別に分割し、各色クラスに対して別々に部分グラフ検出技術を適用する。
• 加算・比較モデルに依存することで、強多項式性を保証し、浮動小数点の仮定なしに実数重みに適用可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての頂点対に対する最大H部分グラフ問題における時間計算量O(n^{t(ω,h)})の指数t(ω,h)を、現在の境界を超えて改善可能か？
• RQ2 辺重み付きグラフにおける長さ2kまたは2k−1の重み付きサイクルの検出において、時間計算量の対数因子を排除することは可能か？
• RQ3 単色三角形はO(n^ω)時間で検出可能か？これは未彩色の場合の時間と一致するか。それともO(n^{(3+ω)/2})が最良の可能性か？
• RQ4 n次元空間内のn点の支配行列を、類似の技術を用いてÕ(n^ω)時間で計算可能か？
• RQ5 このフレームワークを最小H部分グラフ問題に拡張し、最大バージョンと同等の効率で解けるか？

主な発見

• 頂点重み付きグラフにおけるすべての頂点対に対する最大H部分グラフ問題は、t(ω,h)が整数計画問題から導出され、ωとhに依存するO(n^{t(ω,h)})時間で解ける。
• 三角形（h=3）の場合、長方形行列積を用いることでO(n^{2.575})時間で処理可能であり、正方行列積を用いたO(n^{2.616})の境界を顕著に上回る。
• h=4,5,8の場合、時間計算量は未彩色H部分グラフ検出問題と本質的に同等となり、高い効率性を示している。
• 辺数mの辺重み付きグラフにおいて、長さ2kまたは2k−1の重み付きサイクルをO(m^{2−1/k} log n)時間で検出可能である。
• 固定長の任意の重み付きサイクルを検出するための確率的O(n^3 / log n)時間アルゴリズムを提示した。
• 本手法により、実数行列の距離積の最も重要なビットを真に立方時間未満で効率的に計算可能となった。