[論文レビュー] Finding Hidden Cliques of Size \sqrt{N/e} in Nearly Linear Time

Yash Deshpande, Andrea Montanari|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2013

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 27被引用数 26

ひとこと要約

本稿では、エッジ確率 $1/2$ のエッジ・レニイ・ランダム・グラフにおいて、$(1+\varepsilon)\sqrt{N/e}$ のサイズの隠れたクリークをほぼ線形時間で検出するアルゴリズムを提示する。これは、$\sqrt{N}$ 未満で失敗するスペクトル法を凌駕する。この手法は、局所的に木構造を持つ構造における信念伝播を活用し、大径路の正則グラフへ一般化され、クリークサイズとグラフ次数の相対的関係において検出の鋭い閾値を確立する。

ABSTRACT

Consider an Erdös-Renyi random graph in which each edge is present independently with probability 1/2, except for a subset $\sC_N$ of the vertices that form a clique (a completely connected subgraph). We consider the problem of identifying the clique, given a realization of such a random graph. The best known algorithm provably finds the clique in linear time with high probability, provided $|\sC_N|\ge 1.261\sqrt{N}$ \cite{dekel2011finding}. Spectral methods can be shown to fail on cliques smaller than $\sqrt{N}$. In this paper we describe a nearly linear time algorithm that succeeds with high probability for $|\sC_N|\ge (1+\eps)\sqrt{N/e}$ for any $\eps>0$. This is the first algorithm that provably improves over spectral methods. We further generalize the hidden clique problem to other background graphs (the standard case corresponding to the complete graph on $N$ vertices). For large girth regular graphs of degree $(Δ+1)$ we prove that `local' algorithms succeed if $|\sC_N|\ge (1+\eps)N/\sqrt{eΔ}$ and fail if $|\sC_N|\le(1-\eps)N/\sqrt{eΔ}$.

研究の動機と目的

• クリークサイズが $\sqrt{N}$ 未塔のスペクトル閾値未満である場合に、ランダム・グラフにおける隠れたクリークを証明可能に効率的に検出するアルゴリズムを開発すること。
• 完全グラフにとどまらず、一般のバックグラウンド・グラフ、特に大径路の正則グラフへの隠れたクリーク問題の拡張すること。
• 局所的アルゴリズム（例：信念伝播）を用いた隠れた集合の検出可能性に関する鋭い閾値を確立すること。
• 信念伝播が局所的に木構造を持つグラフにおいて最適な性能を達成し、検出に必要なクリークサイズのタイトな境界を与えること。

提案手法

• 著者らは、$N$ が十分に大きいとき、グラフの頂点の $t$-近傍において信念伝播（BP）を用いる。このとき、近傍構造が局所的に木構造を持つと仮定する。
• 隠れたクリーク検出を、木構造のグラフィカル・モデル上の統計的推論問題としてモデル化し、ノードのラベル $X_i$ は隠れた集合への属性を示す。
• アルゴリズムは、BP を用いて後方確率的マージナル $\mathbb{P}(X_i=1 \mid W_{\text{Ball}(i;t)})$ を計算し、これを利用して隠れたクリークを推定する。
• 解析は、木構造のグラフ上で信念伝播のメッセージパッシング動的ダイナミクスが真の後方分布に収束することに依存し、再帰的モーメント解析により誤差バウンドが導かれる。
• この手法は、大径路の $\Delta$-正則グラフへ一般化され、検出閾値は $N/\sqrt{e\Delta}$ のスケールで変化する。
• 重要な技術的要素として、スペクトル的性質を解析し、それらを BP の性能と関連付けるために、正規化されたインジケータ・ベクトル $e_{{\sf C}_N} = u_{{\sf C}_N}/N^{1/4}$ を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多項式時間アルゴリズムは、スペクトル法が失敗する $\sqrt{N}$ 未塔のより小さな隠れたクリークを検出可能か？
• RQ2 信念伝播のような局所的アルゴリズムが高確率で成功するための最小クリークサイズ $|{\sf C}_N|$ は何か？
• RQ3 バックグラウンド・グラフの構造、特に径路と次数が、隠れたクリークの検出閾値にどのように影響するか？
• RQ4 信念伝播は、局所的に木構造を持つグラフにおける隠れた集合検出において最適であり得るか？また、情報理論的限界に達することができるか？

主な発見

• 提案されたアルゴリズムは、高確率でほぼ線形時間で、$(1+\varepsilon)\sqrt{N/e}$ のサイズの隠れたクリークを検出でき、先行研究の $1.261\sqrt{N}$ の閾値を上回る。
• $\Delta$-正則グラフで大径路の場合は、$|{\sf C}_N| \geq (1+\varepsilon)N/\sqrt{e\Delta}$ のときアルゴリズムが成功し、$|{\sf C}_N| \leq (1-\varepsilon)N/\sqrt{e\Delta}$ のとき失敗する。これにより、鋭い閾値が確立される。
• 信念伝播は、局所的に木構造を持つグラフにおいて最適な検出閾値を達成し、この閾値未満ではいかなる局所的アルゴリズムでも成功できない。
• 解析により、スペクトル法はサイズ $\leq (1-\varepsilon)\sqrt{N}$ のクリークでは成功できないことが示され、それらの情報理論的限界が確認される。
• 結果はモデルの変更に対して頑健である：${\sf C}_N$ の i.i.d. モデルと一様集合モデルは、$N$ が十分に大きい極限で等価な検出閾値をもたらす。