[論文レビュー] Finding large and small dense subgraphs

Reid Andersen|ArXiv.org|Feb 5, 2007

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 14被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、密度が最も高いk個以上の頂点を含む部分グラフ（DalkS）問題を導入し、効率的な近似アルゴリズムを提案する：重み付きグラフではO(m + n log n)時間で3-近似が得られ、重みなしグラフではO(m)時間で達成可能。また、パラメトリックフローを用いた2-近似アルゴリズムも開発した。さらに、密度が最大k個の頂点を含む部分グラフ（DamkS）問題が、NP困難な密度k-部分グラフ問題（DkS）とほぼ同程度に難しいことを示し、DamkSの近似比がγであると仮定すれば、DkSに対する4(γ² + γ)-近似が得られることを示した。

ABSTRACT

We consider two optimization problems related to finding dense subgraphs. The densest at-least-k-subgraph problem (DalkS) is to find an induced subgraph of highest average degree among all subgraphs with at least k vertices, and the densest at-most-k-subgraph problem (DamkS) is defined similarly. These problems are related to the well-known densest k-subgraph problem (DkS), which is to find the densest subgraph on exactly k vertices. We show that DalkS can be approximated efficiently, while DamkS is nearly as hard to approximate as the densest k-subgraph problem.

研究の動機と目的

• 大規模なネットワークにおいて、大きさと密度の両方が高い部分グラフを効率的に同定する課題に取り組むこと。標準的な密度k-部分グラフ問題はNP困難である。
• 少なくともk個の頂点を含む密度が最大の部分グラフ（DalkS）問題を定式化し、その解法を提示すること。
• 密度が最大k個の頂点を含む部分グラフ（DamkS）問題の計算量的難易度を分析し、古典的な密度k-部分グラフ問題（DkS）との関係を明らかにすること。
• DkSからDamkSへの近似を保全する還元を確立し、DamkSの進展がDkSに対するより良い近似をもたらす可能性を示すこと。

提案手法

• 頂点の重み付き次数に基づく削除戦略を用いて、Charikarの密度部分グラフ問題に対するアルゴリズムを拡張し、DalkSのための貪欲法による3-近似アルゴリズムを提案する。
• Gallo-Grigoriadis-Tarjanの手法を拡張し、1回のパラメトリック最大フロー計算を用いて、DalkSの2-近似アルゴリズムを構築する。
• 密度k-部分グラフ問題（DkS）からDamkSへの還元を確立し、DamkSのγ-近似が存在するならば、DkSに対する4(γ² + γ)-近似が得られることを示した。
• DamkSの一般化された(β, γ)-近似フレームワークを導入し、βは出力部分グラフのサイズを制御し、γは密度の近似を制御する。
• 複数の低密度部分グラフを反復的貪欲法で統合し、頂点数が制限されつつ十分な密度を持つ部分グラフを構成する手続きを提案する。
• 条件付き期待値の手法を用いて、頂点削減過程で密度を維持し、最終的な部分グラフが所定の近似比を満たすように保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 密度が最も高いk個以上の頂点を含む部分グラフ問題（DalkS）は、効率的に近似可能か？ もしそうなら、達成可能な近似比と実行時間は何か？
• RQ2 DamkSの計算量的難易度は、古典的な密度k-部分グラフ問題（DkS）と比べてどの程度か？
• RQ3 DkSに対する改善された近似を得るために、DamkSの多項式時間近似アルゴリズムが存在するか？
• RQ4 DamkSの局所的アルゴリズムを設計することで、DkSに対するサブ線形近似比を達成できるか？
• RQ5 DalkSの達成可能な最もタイトな近似比は何か？ また、その値は入力グラフの構造とどのように関係するか？

主な発見

• DalkSの3-近似アルゴリズムは、重み付きグラフではO(m + n log n)時間、重みなしグラフではO(m)時間で実行可能であり、Charikarの貪欲法を拡張した結果である。
• DalkSの2-近似アルゴリズムが存在し、1回のパラメトリック最大フロー計算で多項式時間内に計算可能である。
• DamkSにγ-近似アルゴリズムが存在するならば、DkSに対する4(γ² + γ)-近似アルゴリズムが存在することを示し、DamkSがDkSとほぼ同程度に難しいことを示した。
• DamkSの一般化された(β, γ)-近似が存在するならば、DkSに対する4(γ² + γβ)-近似が得られ、βが小さい場合によりタイトな境界が得られる。
• 密度が最大k個の頂点を含む部分グラフ問題は、最大次数3のグラフに対してもNP完全であり、標準的な計算複雑性仮定のもとでは近似が困難である。
• 本稿では、DamkSに対して局所的(log n, k^δ)-近似アルゴリズムが存在すると予想しており、これによりDkSに対するO(k^δ log²n)近似が得られるが、δ = 0はおそらく達成不可能であると結論している。