[論文レビュー] Finding monotone patterns in sublinear time

Omri Ben‐Eliezer, Clément L. Canonne+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 3, 2019

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 38被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、関数 $f:[n] \to \mathbb{R}$ が $(12\dots k)$-自由でない $\varepsilon$-遠くにある場合に、長さ $k$ の単調部分列を特定する非適応的クエリの最適な複雑度を確立する。二進プロファイルと木記述子を用いた新しい構造的分解を導入し、タイトな $\Theta\left((\log n)^{\lfloor \log_2 k \rfloor}\right)$ のクエリ複雑度を証明する。これは従来の境界を著しく改善し、この部分線形時間パターン探索問題の複雑度を解消する。

ABSTRACT

We study the problem of finding monotone subsequences in an array from the viewpoint of sublinear algorithms. For fixed $k \in \mathbb{N}$ and $\varepsilon > 0$, we show that the non-adaptive query complexity of finding a length-$k$ monotone subsequence of $f \colon [n] o \mathbb{R}$, assuming that $f$ is $\varepsilon$-far from free of such subsequences, is $Θ((\log n)^{\lfloor \log_2 k floor})$. Prior to our work, the best algorithm for this problem, due to Newman, Rabinovich, Rajendraprasad, and Sohler (2017), made $(\log n)^{O(k^2)}$ non-adaptive queries; and the only lower bound known, of $Ω(\log n)$ queries for the case $k = 2$, followed from that on testing monotonicity due to Ergün, Kannan, Kumar, Rubinfeld, and Viswanathan (2000) and Fischer (2004).

研究の動機と目的

• 関数 $f:[n] \to \mathbb{R}$ が $(12\dots k)$-自由でない $\varepsilon$-遠くにある場合に、長さ $k$ の単調部分列を特定する非適応的アルゴリズムのクエリ複雑度を解明すること。
• $k=2$ の場合にのみ知られている $\Omega(\log n)$ の下界と、$(\log n)^{O(k^2)}$ の従来の上界とのギャップを、すべての固定された $k\in\mathbb{N}$ に対してタイトな境界を確立することで埋めること。
• 二進プロファイルと木記述子を用いて、単調部分列を含むか回避する関数の新しい構造的特徴付けを開発すること。
• 上界と一致する下界を証明し、クエリ複雑度の最適性を確立すること。

提案手法

• 区間の単調性構造と増加ペアの位置に基づいて、階層的な二進プロファイルシステムを導入し、区間を分類する。
• 区間の単調性行動に基づいて「成長する接尾部」と「分割可能な区間」に分割する構造的二分法定理を定義する。
• 二進プロファイルから導かれる記述子の木をたどることで、非適応的クエリを用いて長さ $k$ の単調部分列を特定する再帰的アルゴリズムを構築する。
• ヤオのミニマックス原理を用いた一致する下界の議論を行い、適切に構築された関数の分布において、ランダムなクエリ集合が単調コピーを捉える確率を分析する。
• 最大マッチング値 $M(x,y)$ の一意性を活用し、$x<y<z$ に対して $M(x,y)=M(y,z)$ となるような三重組が存在しないことを保証することで、部分構造における誤った単調性を防止する。
• 各関数 $f_{i_1,\dots,i_h}$ が正確に $n/k$ 個の互いに素な $(12\dots k)$-コピーを含むことを証明し、$(12\dots k)$-自由関数から $\varepsilon$-遠くにあることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数 $f:[n] \to \mathbb{R}$ が $(12\dots k)$-自由でない $\varepsilon$-遠くにある場合に、長さ $k$ の単調部分列を特定する非適応的クエリ複雑度の最適値は何か？
• RQ2 ニューマンら（2017年）の $O((\log n)^{k^2})$ の境界を超えて、片側誤差を持つ非適応的アルゴリズムのクエリ複雑度を改善できるか？
• RQ3 クエリ複雑度における $n$ 依存性はタイトか？ タイトである場合、正確な漸近的形は何か？
• RQ4 階層的な二進プロファイルと木記述子を用いて、単調部分列の構造をどのように特徴付けられるか？
• RQ5 一定の成功確率で部分列を保証して特定するための最小クエリ数は何か？ ただし、$\varepsilon$-遠くの前提を満たすものとする。

主な発見

• 関数 $f$ が $(12\dots k)$-自由でない $\varepsilon$-遠くにある場合に、長さ $k$ の単調部分列を特定する非適応的クエリ複雑度は $\Theta\left((\log n)^{\lfloor \log_2 k \rfloor}\right)$ であり、これは最適である。
• 上界は、$O\left((\log n)^{\lfloor \log_2 k \rfloor} \cdot \mathrm{poly}(1/\varepsilon)\right)$ のクエリを実行する非適応的アルゴリズムによって達成される。
• 下界は上界と一致しており、固定された $k$ に対して、$n$ に対する依存性をより良くする非適応的アルゴリズムは存在しないことが証明される。
• 硬いインスタンス分布に含まれる各関数 $f_{i_1,\dots,i_h}$ は正確に $n/k$ 個の互いに素な $(12\dots k)$-コピーを含み、$\varepsilon = 1/k$ で $(12\dots k)$-自由関数から $\varepsilon$-遠くにある。
• 二進プロファイルと木記述子による構造的特徴付けにより、階層的分解を用いた再帰的構築が可能となり、単調部分列が分離される。
• 証明は、構築された関数内での長さ $k$ の増加部分列が、一意な最大マッチング位置を持つことを示す新しい帰納的議論に依存しており、重複や誤ったコピーの発生を防止する。