[論文レビュー] Finding of k in Fagin's R. Theorem 24

Algirdas Maknickas|arXiv (Cornell University)|Dec 28, 2010

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、非決定的1テープチューリングマシンが時間 T(l) ≥ l+1 で認識する任意の言語が、複素多値論理と解析的生成関数を用いて、決定的1テープチューリングマシンで時間 T^6 で認識可能であることを示すことにより、P = NP の証明を提案している。Faginの定理24における k = 6 の導出に、複素単位根に文字を符号化し、非決定的計算を多項式時間の吹き上がり（特に6乗増加）で決定的にシミュレート可能であることを示すことが、主張の根幹である。

ABSTRACT

By using of analytical multi-logic expresses in conjunction with non-deterministic Turing machine the proposition was proved that algorithm of deterministic Turing counter machine of polynomial time complexity can be decreased to the algorithm of linear time complexity in non-deterministic Turing counter machine. Furthermore, it was shown that existence of reduction of polynomial time complexity to the linear time complexity by switching from deterministic to non-deterministic Turing machine for string recognition imply P equals to NP. Analytical generation functions of higher order logic were used for finding of k value in Fagin's R. Theorem 24.

研究の動機と目的

• 非決定的時間 T が決定的に時間 T^k でシミュレート可能であるような定数 k の存在と、P = NP の同値性を確立する Faginの定理24を証明すること。
• 非決定的チューリングマシンの時間計算量 T(l) ≥ l+1 が、決定的マシンによって時間 T^6 でシミュレート可能であることを示すこと。
• Faginの定理24における k の値を導出するために、高階の解析的生成関数と、|z_n| = 1 を満たす複素数体 C 上の多値論理を用いること。
• 決定的計算から非決定的計算への遷移が、時間計算量を O(k^2) から O(k) に削減することを示し、このような削減が普遍的に成立するならば、P = NP が成立することを示すこと。

提案手法

• 本稿では、|z_n| = 1 を満たす複素数 z_n = exp(2πi/n) を用いて、非決定的および決定的1テープチューリングマシンをモデル化し、多値論理における記号を表現する。
• 非決定的マシンと決定的マシンの両方の記号符号化に、それぞれ基数 b = 2^{l^2} および2進基数2を用いた解析的生成関数 g^{n_1}_k(z^{A_b^i}_n1) および g^{n_2}_k(z^{A_2^i}_n2) を採用する。
• 非決定的マシンでは1セルのカウンタ（d = l）を用いることで時間計算量を O(k) に削減するが、決定的マシンでは逐次走査のため O(k^2) 必要となる。
• 時間計算量は再帰関係を用いて導出される：非決定的マシンでは T_d(k) = 2k c_iw + k c_a = O(k)、決定的マシンでは T_d(k) = (2k + (k/d - 1)(k/d)) c_iw + log_d k (log_d k + 1) c_ow + k c_a = O(k^2) となる。
• b = 2^{l^2} のとき、2進表現の長さは l^3 に増加し、非決定的から決定的へのシミュレーションにおける時間の吹き上がりが T^6 であることが示される。
• T^6 シミュレーションが可能であるならば P = NP であることが示されることにより、P = NP とこのような k の存在の同値性が確立される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非決定的1テープチューリングマシンの時間計算量 T(l) ≥ l+1 は、固定された k に対して、決定的1テープマシンによって時間 T^k でシミュレート可能か？
• RQ2 非決定的時間 T で認識可能なすべての言語が、決定的時間 T^k で認識可能となるような k の最小値は何か？
• RQ3 複素多値論理と解析的生成関数の使用により、Faginの定理24における k の導出が可能か？
• RQ4 O(k^2) 決定的時間から O(k) 非決定的時間への削減は、P = NP を示すのに十分か？
• RQ5 |z_n| = 1 を満たす複素単位根上での文字列認識は、非決定的計算の多項式時間シミュレーションを可能にするか？

主な発見

• 本稿では、k = 6 のとき、非決定的1テープチューリングマシンが時間 T(l) ≥ l+1 で認識する任意の言語が、決定的1テープマシンによって時間 T^6 で認識可能であることを証明している。
• 非決定的カウンタ機構は1セルカウンタを用いることで O(k) 時間で動作するが、決定的バージョンは逐次走査のため O(k^2) 時間を要する。
• b = 2^{l^2} と設定することで、文字列の2進表現長は l^3 に増加し、非決定的から決定的へのシミュレーションにおける時間計算量の吹き上がりが T^6 であることが示された。
• 複素単位根上での解析的生成関数 g^{n_1}_k および g^{n_2}_k の使用により、非決定的および決定的マシンの両方で記号を符号化でき、時間計算量の比較が可能になった。
• この結果は、このような k が存在する（ここでは k = 6）ならば、P = NP が成立することを示唆しており、非決定的計算の多項式時間シミュレーションが可能であるならば、計算複雑度クラスが崩壊するためである。
• 本稿は、Faginの定理24における k = 6 の存在が、P と NP の同値性を示すと結論づけている。