[論文レビュー] Finding small separators in linear time via treewidth reduction

Dániel Marx, Barry O’Sullivan+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 21, 2011

Advanced Graph Theory Research参考文献 45被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、サイズが高々kであるすべての包含最小s−t分離集合を保存する木幅削減技術を導入し、さまざまな分離集合問題に対して線形時間の固定パラメータ可 tractable (FPT) アルゴリズムを可能にする。木幅をkの関数に削減することにより、Courcelleの定理を用いて、制約付きs−tカット、マルチカット、バイパルティゼーション問題を、連結性や独立集合といった非遺伝的制約を含めても、効率的に解けるようになる。

ABSTRACT

We present a method for reducing the treewidth of a graph while preserving all of its minimal $s-t$ separators up to a certain fixed size $k$. This technique allows us to solve $s-t$ Cut and Multicut problems with various additional restrictions (e.g., the vertices being removed from the graph form an independent set or induce a connected graph) in linear time for every fixed number $k$ of removed vertices. Our results have applications for problems that are not directly defined by separators, but the known solution methods depend on some variant of separation. for example, we can solve similarly restricted generalizations of Bipartization (delete at most $k$ vertices from $G$ to make it bipartite) in almost linear time for every fixed number $k$ of removed vertices. These results answer a number of open questions in the area of parameterized complexity. Furthermore, our technique turns out to be relevant for $(H,C,K)$- and $(H,C,\le K)$-coloring problems as well, which are cardinality constrained variants of the classical $H$-coloring problem. We make progress in the classification of the parameterized complexity of these problems by identifying new cases that can be solved in almost linear time for every fixed cardinality bound.

研究の動機と目的

• 固定パrameter kに対して、すべての固定パラメータ可 tractable (FPT) 分離集合問題を線形時間で解く一般化された手法を開発すること。
• 木幅削減の過程で最小分離集合を保存することにより、非遺伝的グラフ性質を超えてFPTアルゴリズムを拡張すること。
• パラメータ化複雑性における未解決問題を解決すること、特にエッジ誘導頂点カットと(H,C,≤K)-彩色問題を含む。
• 連結性やバランスのようなグローバルまたは非遺伝的制約を持つ問題に対して、木幅削減の強靭性を示すこと。
• 基数制約および構造的制約を伴うマルチカット、バイパルティゼーション、およびホモモーフィズム問題を統一的に解くフレームワークを提供すること。

提案手法

• すべての包含最小s−t分離集合のうちサイズがk以下のものを保存するように、グラフの木幅を削減すること。
• 2段階のプロセスを用いる：まず、小さな分離集合をすべてカバーする小さな頂点集合C′′を特定する。次に、C′′の外側の成分を1成分あたり最大2頂点に縮約する。
• 縮約されたグラフ上で解の同値性を維持するために、トーロ操作とリスト割り当てを適用する。
• 縮約されたグラフ上でモノディック第二階論理 (MSO) で表現可能な問題をCourcelleの定理を用いて解く。
• 非二部グラフおよびH-彩色制約に対応するため、分岐とリスト修正技術を用いる。
• 既知のFPTアルゴリズム（例：バイパルティゼーション）と木幅削減を組み合わせることで、線形時間FPT結果を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 木幅削減が、サイズ≤kの最小s−t分離集合を保存しつつ、グラフを有界木幅にまで削減できるか？
• RQ2 この技術は、連結性や誘導部分グラフ性のような非遺伝的制約にも拡張可能か？
• RQ3 固定kに対して、EDGE-INDUCED VERTEX CUT問題は線形時間でFPTか？
• RQ4 固定kおよびHに対して、(H,C,K)-および(H,C,≤K)-彩色問題は線形時間で解けるか？
• RQ5 この手法は、バランスや有向グラフのようなグローバル制約に対しても拡張可能か？

主な発見

• MINIMUM STABLE s−t CUT問題は、すべての固定kに対して線形時間で解ける。これは、遺伝的グラフクラスへの一般化に対しても同様に成り立つ。
• ℓ個の端子ペアと、解集合が遺伝的クラスGに属するグラフを誘導するマルチカット問題は、パrameter kとℓに関して線形時間FPTである。
• CONNECTED s−t CUT問題は、連結性が遺伝的性質でないにもかかわらず、問題固有の木幅削減により線形時間FPTである。
• 固定kに対して、EDGE-INDUCED VERTEX CUT問題は線形時間で解け、2007年の未解決問題を解決した。
• 固定kおよびHに対して、(H,C,≤K)-彩色問題は、Gの木幅が有界であれば線形時間で解ける。
• この手法により、解の同値性を保ちつつ問題を有界木幅グラフに削減することで、FPTアルゴリズムの顕著な一般化が可能になった。