[論文レビュー] Finding the Rikitake's attractors by parameter switching

Marius‐F. Danca, S. Codreanu|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2011

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 25被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、双曲的でない平衡点を有する系、特にリキタケ力学系に応用可能なパラメータスイッチングアルゴリズムを導入し、任意の吸引子を合成する。周期的またはランダムに制御パラメータ $ p $ をスイッチングすることで、平均パラメータ値における吸引子と一致する目標吸引子を生成でき、カオス的または安定なリミットサイクルのダイナミクスに対しても同様に有効である。また、$ x_3 $-軸の不安定性に起因する、以前に気づかれていなかった長期間にわたる一時的吸引子が明らかになった。

ABSTRACT

In this paper the attractors synthesis algorithm for a class of dissipative dynamical systems with hyperbolic equilibria, presented in [1], is applied to generate any attractor of the Rikitake system. By switching periodically, or even randomly, the control parameter inside a given set of values, during any finite time interval while the attractor is numerically approximated, any attractor can be generated. Beside the extension of the synthesis algorithm to systems with non-hyperbolic equilibria, we have found for the Rikitake system, a new intriguing transient which, occurring for a long time interval, is difficult to be numerically found due to the known system instability along the x3-axis.

研究の動機と目的

• 非双曲的平衡点を有する系、たとえばリキタケ系に向けた吸引子合成アルゴリズムの拡張を目的とする。
• 周期的またはランダムな制御パラメータ $ p $ のスイッチングにより、任意のリキタケ吸引子が生成可能であることを数値的に示す。
• $ x_3 $-軸に沿った不安定性に起因する長期間にわたる一時的吸引子（TA）を同定・特徴づける。標準的な数値手法では容易に捉えにくい。
• 重ね合わせた位相空間図、状態分布のヒストグラム、ポアンカレ截面を用いて、スイッチングによって生成された吸引子と平均パラメータ値における吸引子の等価性を検証する。

提案手法

• 吸引子合成アルゴリズムは、リキタケ系の数値積分中に制御パラメータ $ p(t) $ を区分的定数関数としてスイッチングする。
• スイッチング則は、周期的またはランダムなパラメータ値の系列 $ p_1, p_2, \dots $ を用い、平均値 $ p^* $ が目標吸引子を決定する。
• 本手法は吸引子集合の凸性に依存しており、合成吸引子 $ A^* $ が平均パラメータ値 $ p^* $ における吸引子 $ A_{p^*} $ と一致することを保証する。
• 数値積分には4次ルンゲ・クッタ法を用い、一時的吸引子を解明するために剛性の処理を慎重に行う。
• 重ね合わせた位相空間図、状態分布のヒストグラム、ポアンカレ截面を用いて、吸引子の同一性を確認する。
• 一時的吸引子は、長時間シミュレーションと幾何的対称性解析により同定されるが、$ x_3 $-軸の不安定性に起因する数値的困難さがある。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非双曲的平衡点を有する系、たとえばリキタケ系に向けた吸引子合成アルゴリズムを成功裏に拡張可能か？
• RQ2 周期的またはランダムなパラメータスイッチングにより、リキタケ系で任意の所望の吸引子を生成可能か？
• RQ3 リキタケ系に長期間にわたる一時的吸引子が出現する原因は何か？なぜ数値的に捉えにくいのか？
• RQ4 合成吸引子 $ A^* $ が平均パラメータ値 $ p^* $ における吸引子 $ A_{p^*} $ とどの程度等価か？
• RQ5 一時的吸引子は、数値的アーチファクトではなく、動的成分として厳密に解釈可能か？

主な発見

• パラメータ $ p $ の周期的またはランダムなスイッチングにより、個々のパラメータ値がカオス的または安定的ダイナミクスを示す場合でも、任意のリキタケ吸引子が正しく合成可能である。
• $ p_1 = 9.66 $, $ p_2 = 12 $ の決定的スイッチングスキーム $[1p_1, 1p_2]$ において、$ p^* = 10.83 $ での合成吸引子 $ A^* $ は、$ A_{p^*} $ と一致しており、重ね合わせた位相空間図とヒストグラムにより確認された。
• $ p_1 = 5 $, $ p_2 = 7 $, $ p_3 = 24.32 $ を用いた $[1p_1, 2p_2, 1p_3]$ スキームにおいて、$ p^* = 10.83 $ での合成吸引子 $ A^* $ は、重なったポアンカレ截面とヒストグラムにより $ A_{p^*} $ と同一であることが示された。
• $ p_1 = 17 $, $ p_2 = 23 $ の場合、アルゴリズムは $ p^* = 20 $ におけるカオス的吸引子 $ A^* $ を生成し、ポアンカレ截面とヒストグラム比較により確認された。
• $ p_1 = 26 $, $ p_2 = 28 $ の場合、個々の吸引子は安定リミットサイクルであり、すべてのスイッチングスキームで安定リミットサイクルに限定され、$ p^* = 27 $ における $ A_{p^*} $ と一致した。
• 一様分布を用いたランダムスイッチング（$ p_1 = 14.5 $, $ p_2 = 20.7 $）において、合成吸引子 $ A^* $ は $ p^* = 17.6 $ における $ A_{p^*} $ と一致しており、重なった位相空間図とヒストグラムにより確認された。