[論文レビュー] Finding the Spectral Radius of a Nonnegative Tensor

Shenglong Hu, Zheng‐Hai Huang+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2011

Tensor decomposition and applications参考文献 9被引用数 66

ひとこと要約

本稿では、正のスペクトル半径を保証する新しいクラスである厳密に非負テンソルを導入し、任意の非負テンソルのスペクトル半径を計算するためのグローバルに収束するアルゴリズムを開発する。この手法は、弱く完全に分解可能なブロックにテンソルを分解することで実現され、各ブロックに対して修正されたパワー法を適用することで、追加の仮定なしにR線形収束を保証する。これにより、効率的かつ信頼性の高い計算が可能となる。

ABSTRACT

In this paper, we introduce a new class of nonnegative tensors --- strictly nonnegative tensors. A weakly irreducible nonnegative tensor is a strictly nonnegative tensor but not vice versa. We show that the spectral radius of a strictly nonnegative tensor is always positive. We give some sufficient and necessary conditions for the six well-conditional classes of nonnegative tensors, introduced in the literature, and a full relationship picture about strictly nonnegative tensors with these six classes of nonnegative tensors. We then establish global R-linear convergence of a power method for finding the spectral radius of a nonnegative tensor under the condition of weak irreducibility. We show that for a nonnegative tensor T, there always exists a partition of the index set such that every tensor induced by the partition is weakly irreducible; and the spectral radius of T can be obtained from those spectral radii of the induced tensors. In this way, we develop a convergent algorithm for finding the spectral radius of a general nonnegative tensor without any additional assumption. The preliminary numerical results demonstrate the feasibility and effectiveness of the proposed algorithm.

研究の動機と目的

• 非負テンソルの新しいクラス、厳密に非負テンソルを定義・分析し、そのスペクトル半径が常に正であることを保証すること。
• 文献に既知の6つの非負テンソルクラスとの間の包括的関係を確立すること。
• 追加の仮定を必要としない一般非負テンソルのスペクトル半径を計算するグローバルに収束するアルゴリズムを開発すること。
• ランダムに生成されたテンソルおよび構造的テンソルを用いた数値実験を通じて、提案手法の実行可能性と有効性を示すこと。

提案手法

• 弱く完全に分解可能な非負テンソルを厳密に含むクラスとして、厳密に非負テンソルを導入し、そのスペクトル半径が常に正であることを証明すること。
• 任意の非負テンソルを弱く完全に分解可能な誘導テンソルに分割する戦略を提案し、ブロック単位でのスペクトル半径計算を可能にする。
• Friedlandら（2013）のパワー法を修正し、弱く完全に分解可能な非負テンソルに対してグローバルなR線形収束を保証する。
• 弱く完全に分解可能なブロックのスペクトル半径を集約することで、一般非負テンソルのスペクトル半径を計算するアルゴリズムを構築する。
• 関数 $ F_T(x) $ を用いて、テンソル固有値問題に関連する非線形写像を定義し、パワー法の枠組みと結びつける。
• 収束精度を保証するため、上界と下界の差分 $ |\alpha(x^{(k)}) - \beta(x^{(k)})| \leq 10^{-6} $ を基にした停止基準を実装する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非負テンソルのスペクトル半径が正であることを保証する条件は何か？また、新たに導入された厳密に非負テンソルのクラスは、既存のクラスとどのように関係しているか？
• RQ2 弱く完全に分解可能な非負テンソルのスペクトル半径を計算するためのグローバルに収束するパワー法を開発可能か？
• RQ3 弱く完全に分解可能性やその他の構造的制約を仮定しない場合、一般非負テンソルのスペクトル半径はどのように計算できるか？
• RQ4 厳密に非負テンソルと文献に既知の6つの非負テンソルクラスの間にはどのような関係があるか？
• RQ5 テンソルのスパarsity（スパarsity）または密度が、弱く完全に分解可能である確率に与える影響は何か？また、これは計算性能にどのように影響するか？

主な発見

• 任意の厳密に非負テンソルのスペクトル半径は、常に正であることが保証され、非負テンソルに対するペロン＝フロベニウス理論を拡張する。
• 厳密に非負テンソルのクラスは、弱く完全に分解可能、原始的、本質的に正などの文献に既知の6つの非負テンソルクラスを厳密に含む。
• 修正されたパワー法は、弱く完全に分解可能な非負テンソルに対してグローバルなR線形収束を達成し、信頼性の高い高速収束を保証する。
• 任意の非負テンソルに対して、インデックス集合の分割が存在し、その各誘導テンソルが弱く完全に分解可能であり、元のテンソルのスペクトル半径は誘導テンソルのスペクトル半径の最大値に等しい。
• 数値実験の結果、提案アルゴリズムはさまざまな次元と密度のテンソルにおいて、効率的にスペクトル半径を計算でき、密度の高いテンソルでは平均して20回未満の反復で収束することが示された。
• アルゴリズムはスパーステンソルに対しても良好に動作し、要素の密度が高くなるほど弱く完全に分解可能である確率が上昇し、残差誤差は常に $ 10^{-6} $ 未満で安定している。