[論文レビュー] Finding Weighted Graphs by Combinatorial Search

Jeong Han Kim|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2012

Data Management and Algorithms参考文献 31被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、加法的クエリを用いて、固定された正の定数の間で有界な重みを持つ隠し重み付きグラフのすべての辺とその重みを特定する多項式時間の確率的アルゴリズムを提示する。アルゴリズムは、定数倍の要因を除いて最適なクエリ複雑性 $ O\left(\frac{m\log n}{\log m}\right) $ を達成し、重みが有界な偽コイン問題への新しい還元を活用するとともに、ランダムウォークと適応的クエリ戦略を用いる。

ABSTRACT

We consider the problem of finding edges of a hidden weighted graph using a certain type of queries. Let $G$ be a weighted graph with $n$ vertices. In the most general setting, the $n$ vertices are known and no other information about $G$ is given. The problem is finding all edges of $G$ and their weights using additive queries, where, for an additive query, one chooses a set of vertices and asks the sum of the weights of edges with both ends in the set. This model has been extensively used in bioinformatics including genom sequencing. Extending recent results of Bshouty and Mazzawi, and Choi and Kim, we present a polynomial time randomized algorithm to find the hidden weighted graph $G$ when the number of edges in $G$ is known to be at most $m\geq 2$ and the weight $w(e)$ of each edge $e$ satisfies $\ga \leq |w(e)|\leq \gb$ for fixed constants $\ga, \gb>0$. The query complexity of the algorithm is $O(\frac{m \log n}{\log m})$, which is optimal up to a constant factor.

研究の動機と目的

• 加法的クエリを用いた隠し重み付きグラフの再構築のための実用的で多項式時間のアルゴリズムを開発すること。
• 高々 $ m $ 条の辺と、固定された正の定数 $ \alpha $ と $ \beta $ の間で有界な辺の重みを持つグラフに対して、最適なクエリ複雑性を達成すること。
• ランダム化、適応的クエリ、組合せ的探索技術を組み合わせることで、従来の非多項式的または非最適なアルゴリズムを拡張すること。
• 重みが有界な偽コイン問題とグラフ同定の間の関係を確立し、確率的コインの秤量により効率的に解けるようにすること。
• システマティックなDNA断片のシーケンシングや進化的計算におけるフーリエ係数の回復といったバイオインフォマティクスの応用分野における実用的ソリューションを提供すること。

提案手法

• 各辺が $[\alpha, \beta]$ 内の重みを持つ偽コインに対応する重み付き偽コイン問題にグラフ同定問題を還元する。
• ランダムウォークを用いて、高い次数の頂点を高い確率で保持するスパarsな部分グラフ $ G_1 $ を構築する。
• ランダム化された二分探索を用いて $ G_1 $ の辺を特定し、部分グラフ $ G_2 $ を形成する。クエリ複雑性は $ O(m^{1 - \delta/2} \log n) $ である。
• 高々 $ G_2 $ の次数を持つ頂点に対して、隣接頂点の重みを未知のコインの重みとして扱い、補題1.3のアルゴリズムをパラメータ $ (m^{\delta}d_{G_2}(x), n, \alpha, \beta, 0, 1/\delta) $ で適用する。
• 適応的かつ確率的なクエリを用いて、高い確率で辺の重みを回復させ、合計クエリ数が $ O\left(\frac{m\log(\beta/\alpha)\log n}{\log m}\right) $ の範囲に収まるように保証する。
• アルゴリズムBを2回適用（$ X $ と $ Y $ を入れ替えて）することで、次数 $ \geq m^{2\delta} $ のすべての頂点を回復し、残りのグラフに対してアルゴリズムAを適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多項式時間の確率的アルゴリズムは、$ m $ 条の辺と有界な辺の重みを持つ隠し重み付きグラフを、最適なクエリ複雑性で特定できるか？
• RQ2 グラフ同定問題を重みが有界な組合せ的コイン秤量問題に還元し、最適なクエリ複雑性を達成できるか？
• RQ3 辺の重みが0および無限大から離れている場合に、隠し重み付きグラフを再構築するために必要な最小のクエリ複雑度は何か？
• RQ4 ランダム化と適応的クエリを用いることで、従来の非適応的または非多項式的アルゴリズムが失敗する状況において、実用的なアルゴリズムを設計できるか？
• RQ5 加法的クエリの文脈で、スパースサンプリングとランダムウォークを用いて、高次頂点の構造を効率的に回復できるか？

主な発見

• 提案されたアルゴリズムは、$ O\left(\frac{m\log(\beta/\alpha)\log n}{\log m}\right) $ のクエリ複雑性を達成し、定数倍の要因を除いて最適である。
• 確率 $ 1 - O(m^{-0.02}) $ で、アルゴリズムは提示されたクエリ制限内において隠しグラフのすべての辺を正常に回復する。
• アルゴリズムは、各辺が $[\alpha, \beta]$ 内の重みを持つコインに対応する偽コイン問題への還元を用いる。
• ランダムウォークを用いて、高い次数の頂点を高い確率で保持する部分グラフ $ G_1 $ を構築し、重い頂点の効率的回復を可能にする。
• 適応的クエリとランダム化された二分探索を組み合わせてスパース部分グラフ内の辺を特定し、その後に重み付きコイン秤量手順を適用する。
• アルゴリズムは多項式時間であり、実用的である。これにより、同様の問題に対して従来の非適応的または非多項式的アルゴリズムの制限を克服できる。