[論文レビュー] Fine approximation of convex bodies by polytopes

Márton Naszódi, Fëdor Nazarov+1 more|arXiv (Cornell University)|May 4, 2017

Point processes and geometric inequalities被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、d次元空間内の凸体を (1−ε) 因子内で多面体で近似するために必要な頂点数の鋭い上限を確立している。任意の ε ∈ (0, 1/2) に対して、O(e^{O(d)}ε^{-(d+1)/2}) 個の頂点で十分であることが示されている。この手法では、元の体を一様に2-凸にする非線形変換を施し、カプを被覆するブラウンシュタイン–イワノフ網を適用した後、確率的組合せ論を用いて多面体の包含関係を保証する境界上への確率測度を構築している。

ABSTRACT

We prove that for every convex body $K$ with the center of mass at the origin and every $\varepsilon\in \left(0,\frac{1}{2} ight)$, there exists a convex polytope $P$ with at most $e^{O(d)}\varepsilon^{-\frac{d-1}{2}}$ vertices such that $(1-\varepsilon)K\subset P\subset K$.

研究の動機と目的

• 従来の多面体近似の境界から対称性と対数因子を除去することで、長年の未解決のギャップを埋めること。
• 任意の凸体 K ⊂ ℝ^d を多面体 P で近似する際の、(1−ε)K ⊂P ⊂K を満たす近似に必要な頂点数をほぼ最適化すること。
• バーヴィノクの2012年結果に見られる (log 1/ε)^d 要因を非線形変換を導入することで曲率を均一化することで排除すること。
• 確率的組合せ論を用いて、有限の ε-ネットの存在を保証する境界上の測度論的条件を確立すること。
• 幾何解析と確率的手法を統合し、線形自己同型に関して不変で、カプ測度に強い下界を持つ測度を構築すること。

提案手法

• 径方向微分同相写像 Φδ を用いて、元の凸体 K を一様に2-凸体 Φδ(K) に変換し、凸性を保ちつつ古典的なネットの適用を可能にする。
• 変換後の体にブラウンシュタイン–イワノフ網を適用し、∂K に含まれる有限の ε/2-ネット X を構築し、その濃度が C(d)ε^{-(d+1)/2} 以下となるようにする。ここで C(d) は d に関して二重指数的である。
• ∂K 上に確率測度 µ を構築し、任意の x ∈ ∂K および ε ∈ (0, 1/2) に対して µ(S(x, ε)) ≥ pε^{(d−1)/2} が成り立つようにする。ここで p = e^{O(d)} である。この測度は K 及びその極体 K◦ の錐の体積比に基づいて定義される。
• 組合せ被覆補題（ロジャース型）を用いて、すべてのカプ S(x, ε/2)（x ∈ X）と交わる有限集合 Y ⊂ ∂K を選別する。Y のサイズは O(p^{-1}ε^{-(d+1)/2} log C(d)) である。
• Φδ とスケーリング (1−ε)x に関連する重要な不等式を用いて、Φδ(K) の ε/2-近似が K の ε-近似を示し、(1−ε)K ⊂ conv(Y) の包含関係を保証する。
• 体積積 vol(K)vol(K◦) を制御するため、ブラシュケ–サントラロ不等式およびその逆不等式を活用し、測度構築およびカプ測度の下界に不可欠な役割を果たす。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 凸体の ε-近似に必要な頂点数を、対称性や対数因子を要せず、e^{O(d)}ε^{-(d+1)/2} に改善できるか？
• RQ2 任意の凸体の境界上に、すべての高さ ε の球面カプの測度が少なくとも e^{O(d)}ε^{(d−1)/2} 以上となるような確率測度を構築することは可能か？
• RQ3 適切な微分同相写像を用いて、一般凸体の近似問題を一様に2-凸体のケースに還元できるか？
• RQ4 任意の ℝ^d 内の凸体に対して、カプ被覆の意味での有限の ε-ネットが、e^{O(d)}ε^{-(d+1)/2} で有界な濃度を持つように存在するか？
• RQ5 (1−ε)K ⊂P ⊂K を満たす多面体 P に必要な頂点数の最小値は何か？ そして、対数因子を排除して達成可能か？

主な発見

• 本稿は、重心を原点とする任意の凸体 K ⊂ ℝ^d および ε ∈ (0, 1/2) に対して、(1−ε)K ⊂P ⊂K を満たす多面体 P が、e^{O(d)}ε^{-(d+1)/2} 個の頂点以内で存在することを確立している。
• 頂点数の上限は、e^{O(d)} 要因を除いて最適であり、バーヴィノクの2012年結果から (log 1/ε)^d 要因と対称性の仮定を排除することで改善されている。
• 主な革新点は、古典的なブラウンシュタイン–イワノフ網を適用可能にするために、非線形微分同相写像 Φδ を用いて K を一様に2-凸体に変換することにある。
• 任意の x ∈ ∂K および ε ∈ (0, 1/2) に対して µ(S(x, ε)) ≥ e^{O(d)}ε^{(d−1)/2} を満たす ∂K 上の確率測度 µ が構築されており、これは強力な被覆性質を保証する。
• 測度 µ は ℝ^d の線形自己同型に関して不変であり、K 及びその極体 K◦ の錐の体積比に基づいて定義されており、サントラロ不等式を活用している。
• 最終的な頂点数の上限は O(e^{O(d)}ε^{-(d+1)/2}) であり、d に関する指数的要因を除いて、既知の最良の境界と一致しており、一般凸体のクラスにおいてタイトである。