[論文レビュー] Fine-Grained Completeness for Optimization in P

Karl Bringmann, Alejandro Cassis+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2021

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 14被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、Pにおける最適化問題の細粒度的完全性を確立するものであり、関係構造上の量化子なし一階論理式における満たされるタプルの数を最大化または最小化することを定義するクラスMaxSPおよびMinSPを導入する。最大/最小内積問題が決定的細粒度還元において完全であることを証明しており、これにより、この問題に対する非二次的アルゴリズムまたは近似アルゴリズムが得られれば、MaxSP/MinSPに属するすべての問題に対するより高速なアルゴリズムが得られることを示し、直交ベクトル仮説と強い関連を持つ。

ABSTRACT

We initiate the study of fine-grained completeness theorems for exact and approximate optimization in the polynomial-time regime. Inspired by the first completeness results for decision problems in P (Gao, Impagliazzo, Kolokolova, Williams, TALG 2019) as well as the classic class MaxSNP and MaxSNP-completeness for NP optimization problems (Papadimitriou, Yannakakis, JCSS 1991), we define polynomial-time analogues MaxSP and MinSP, which contain a number of natural optimization problems in P, including Maximum Inner Product, general forms of nearest neighbor search and optimization variants of the $k$-XOR problem. Specifically, we define MaxSP as the class of problems definable as $\max_{x_1,\dots,x_k} \#\{ (y_1,\dots,y_\ell) : ϕ(x_1,\dots,x_k, y_1,\dots,y_\ell) \}$, where $ϕ$ is a quantifier-free first-order property over a given relational structure (with MinSP defined analogously). On $m$-sized structures, we can solve each such problem in time $O(m^{k+\ell-1})$. Our results are: - We determine (a sparse variant of) the Maximum/Minimum Inner Product problem as complete under *deterministic* fine-grained reductions: A strongly subquadratic algorithm for Maximum/Minimum Inner Product would beat the baseline running time of $O(m^{k+\ell-1})$ for *all* problems in MaxSP/MinSP by a polynomial factor. - This completeness transfers to approximation: Maximum/Minimum Inner Product is also complete in the sense that a strongly subquadratic $c$-approximation would give a $(c+\varepsilon)$-approximation for all MaxSP/MinSP problems in time $O(m^{k+\ell-1-δ})$, where $\varepsilon > 0$ can be chosen arbitrarily small. Combining our completeness with~(Chen, Williams, SODA 2019), we obtain the perhaps surprising consequence that refuting the OV Hypothesis is *equivalent* to giving a $O(1)$-approximation for all MinSP problems in faster-than-$O(m^{k+\ell-1})$ time.

研究の動機と目的

• 最適化問題における多項式時間領域における細粒度的完全性のフレームワークを確立すること。
• MaxSPおよびMinSPを、関係構造上の量化子なし一階論理式の解の数を数える形で表現可能な最適化問題のクラスとして定義すること。
• 最大/最小内積問題という自然な問題を、決定的細粒度還元においてMaxSP/MinSPの完全問題として同定すること。
• この問題に対する非二次的アルゴリズムまたは近似アルゴリズムが得られれば、MaxSP/MinSPに属するすべての問題に対するより高速なアルゴリズムが得られることを示すこと。
• 最適化問題の難易度が直交ベクトル仮説とタイトな還元によって結びつくことの解明。

提案手法

• 関係構造上の量化子なし一階論理式における変数および関係の数をパrameterとするMaxSPおよびMinSPを最適化問題のクラスとして定義する。
• MaxSP/MinSPの完全問題としての候補として、最大/最小内積問題のスパース版を導入する。
• すべてのMaxSP/MinSP問題から最大/最小内積問題への決定的細粒度還元を構築し、解の品質と実行時間の上限を保つ。
• カラー・コーディングおよび述語置換技術を用いて、多関係型インスタンスを単一の述語型インスタンス（単項述語を含む）に還元する。
• 次元削減およびインスタンス変換を適用して、単項およびクロスエッジ述語を除去し、ハイブリッド問題に還元する。
• ChenとWilliamsらの既知のアルゴリズム的結果を活用し、完全問題からのアルゴリズム的改善を、MaxSP/MinSPに属するすべての問題へと転送する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Pに属する自然な問題で、細粒度還元においてPにおける最適化問題の広範なクラスに対して完全性を満たすものはあるか？
• RQ2 NP最適化問題におけるMaxSNP完全性と類似した方法で、Pにおける最適化問題の細粒度的完全性を確立できるか？
• RQ3 最大/最小内積問題に対して強い非二次的アルゴリズムが得られれば、どのようなアルゴリズム的結果が得られるか？
• RQ4 Pにおける最適化の難易度は、直交ベクトル仮説とどのように関係しているか？
• RQ5 近似完全性を確立でき、完全問題に対する高速近似が、MaxSP/MinSPに属するすべての問題に対する高速近似を示唆できるか？

主な発見

• 最大/最小内積問題は決定的細粒度還元においてMaxSP/MinSPに対して完全である：この問題に対する強い非二次的アルゴリズムが得られれば、MaxSP/MinSPに属するすべての問題に対して多項式的高速化が達成される。
• 最大/最小内積問題に対する強い非二次的c-近似が得られれば、任意のδ > 0および任意に小さなε > 0に対して、すべてのMaxSP/MinSP問題に対して(c + ε)-近似が時間O(mk+ℓ−1−δ)で得られる。
• 直交ベクトル仮説を否定することは、すべてのMinSP問題に対してO(1)-近似をO(mk+ℓ−1)時間未満で達成できることに等しい。
• 還元は問題の構造を保ち、最大/最小内積問題に対する最速の既知のアルゴリズムを活用することで、すべてのMaxSP/MinSP問題に対してやや良いアルゴリズム的改善が可能になる。
• このフレームワークにより、1つの完全問題に対するアルゴリズム的進歩を、MaxSP/MinSPに属する全問題クラスへと細粒度還元によって転送できる。
• 本研究の結果は、Pにおける細粒度複雑性と近似難易度のタイトな関係を確立し、決定問題にとどまらない完全性理論の拡張を達成した。