[論文レビュー] Fine properties of functions with bounded variation in Carnot-Carathéodory spaces

Sebastiano Don, Davide Vittone|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、Carnot-Carathéodory (CC) 空間における有界 variation (BV) 関数の細かい性質を確立し、概ね至る所で近似的に X-微分可能であることを証明し、その分布的微分の構造を特徴づける。性質 $\mathcal{R}$ の下で、ほとんど至る所の不連続性がジャンプ型であることを示し、微分のジャンプ成分の表現公式を導出し、古典的 BV 理論を非ユークリッド的 sub-Riemannian 環境へと拡張する。

ABSTRACT

We study properties of functions with bounded variation in Carnot-Ca\-ra\-théo\-do\-ry spaces. We prove their almost everywhere approximate differentiability and we examine their approximate discontinuity set and the decomposition of their distributional derivatives. Under an additional assumption on the space, called property $\mathcal R$, we show that almost all approximate discontinuities are of jump type and we study a representation formula for the jump part of the derivative.

研究の動機と目的

• 等正則な Carnot-Carathéodory 空間における BV 関数の微分可能性および分解に関する性質を確立すること。
• sub-Riemannian 幾何学における BV 関数の近似的な X-ジャンプの概念を定義し、分析すること。
• 性質 $\mathcal{R}$ の下で、微分の特異部がジャンプ型不連続性に集中することを証明すること。
• CC 空間における分布的微分のジャンプ成分の表現公式を導出すること。
• 古典的 BV 結果（近似的微分可能性およびジャンプ集合の構造など）を、CC 空間という非ユークリッド的設定へと拡張すること。

提案手法

• CC 空間へと $\mathbb{R}^n$ における BV 関数の古典的 $L^1$-型推定を一般化する新しい不等式（補題 3.12）を用い、[5] における未解決問題を解決する。
• 近似的な $X$-微分可能性の概念を導入し、Lebesgue 測度に対する絶対連続部の密度を用いて近似的な $X$-勾配を定義する。
• ノンアーベル接空間の内因的 $C^1_X$-正則超曲面および吹き出し技術を用いて、$X$-ジャンプ点および関連する三つ組 $(u^+, u^-, \nu_u)$ を定義する。
• 点 $p$ の近傍における $u$ の漸近的挙動を解析するため、拡大 $\delta_r$ および微同相 $F_p$ を用いた吹き出し手続きを適用する。
• 同次次元 $Q$ および $\mathscr{H}^{Q-1}$-測度を用いて、近似的な不連続集合 $\mathcal{S}_u$ のサイズと構造を特徴付ける。
• 特性関数の近似と測度の弱収束を用いて、近似的勾配およびジャンプ三つ組のボレル可測性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 BV 関数の古典的結果（概ね至る所で近似的微分可能）は、Carnot-Carathéodory 空間における関数へと拡張可能か？
• RQ2 等正則な CC 空間における $BV_X$ 関数の分布的微分 $D_X u$ の構造はいかなるものか？
• RQ3 sub-Riemannian 環境下で、$u$ の近似的な不連続性がジャンプ型である条件は何か？
• RQ4 CC 空間において、$D_X u$ のジャンプ成分の表現公式を導出可能か？
• RQ5 近似的極限および近似的ジャンプの概念は、$X$-微分可能性の文脈でどのように一般化されるか？

主な発見

• 本稿は、任意の $u \in BV_X(\Omega; \mathbb{R}^k)$ が $\mathscr{L}^n$-概ね至る所で近似的に $X$-微分可能であり、近似的 $X$-勾配が $D_X^a u$ の密度に等しいことを証明している。
• $\mathcal{S}_u$ すなわち近似的極限を持たない点の集合は、有限の $\mathscr{H}^{Q-1}$-測度を持つ集合の可算和に含まれる。
• 性質 $\mathcal{R}$ の下で、$D_X u$ の特異部は完全にジャンプ集合 $\mathcal{J}_u$ に集中しており、$D_X^s u = D_X^j u$ が成り立つ。
• ジャンプ成分 $D_X^j u$ は、ジャンプ三つ組 $(u^+, u^-, \nu_u)$ を含む表現公式を有し、$\mathcal{J}_u$ は $\mathscr{H}^{Q-1}$-可縮である。
• 近似的勾配 $D_X^{ap} u$ およびジャンプ三つ組は、$\Omega \setminus \mathcal{S}_u$ 上でボレル可測関数である。
• 本稿は、近似的極限およびジャンプ三つ組が概ね至る所で一意に定義されることを確立し、吹き出しおよびトレースの定義の整合性を保証している。