[論文レビュー] Fine properties of solutions to the Cauchy problem for a Fast Diffusion Equation with Caffarelli-Kohn-Nirenberg weights

Matteo Bonforte, Nikita Simonov|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2020

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 98被引用数 20

ひとこと要約

本稿は、重み付き速い拡散方程式の解が相対誤差において一様収束するBarenblatt型解へ至る初期データの完全な特徴付けを確立する。初期データに新たな積分条件を課すことにより、そのような解がグローバルハーナック原理を満たし、相対誤差において一様収束することを証明する。一方、このクラスに属さない解は、持続的なファットテイルを示し、$L^1$収束が成立しても相対誤差収束は失敗する。

ABSTRACT

We investigate fine global properties of nonnegative, integrable solutions to the Cauchy problem for the Fast Diffusion Equation with weights (WFDE) $u_t=|x|^\\gamma\\mathrm{div}\\left(|x|^{-\\beta}\ abla u^m\ ight)$ posed on $(0,+\\infty)\ imes\\mathbb{R}^d$, with $d\\ge 3$, in the so-called good fast diffusion range $m_c<m<1$, within the range of parameters $\\gamma, \\beta$, optimal for the validity of the so-called Caffarelli-Kohn-Nirenberg inequalities. It is a natural question to ask in which sense such solutions behave like the Barenblatt $\\mathfrak{B}$ (fundamental solution): for instance, asymptotic convergence, i.e. $\\|u(t)-\\mathfrak{B}(t)\\|_{{\ m L}^p(\\mathbb{R}^d)}\\xrightarrow[]{t\ o\\infty}0$, is well known for all $1\\le p\\le \\infty$, while only few partial results tackle a finer analysis of the tail behaviour. We characterize the maximal set of data $\\mathcal{X}\\subset{\ m L}^1_+(\\mathbb{R}^d)$ that produces solutions which are pointwise trapped between two Barenblatt (Global Harnack Principle), and uniformly converge in relative error (UREC), i.e. ${\ m d}_\\infty(u(t))=\\|u(t)/\\mathcal{B}(t)-1\\|_{{\ m L}^\\infty(\\mathbb{R}^d)}\\xrightarrow[]{t\ o\\infty}0$. Such characterization is in terms of an integral condition on $u(t=0)$. To the best of our knowledge, analogous issues for the linear heat equation $m=1$, do not possess such clear answers. Our characterization is also new for the classical, non-weighted, FDE. We are able to provide minimal rates of convergence to $\\mathcal{B}$ in different norms. Such rates are almost optimal in the non weighted case, and become optimal for radial solutions. To complete the panorama, we show that solutions with data in ${\ m L}^1_+(\\mathbb{R}^d)\\setminus\\mathcal{X}$, preserve the same "fat" spatial tail for all times, hence UREC fails.

研究の動機と目的

• 重み付き速い拡散方程式の解がBarenblatt型解へ相対誤差において一様収束する、$\mathrm{L}^1_+(\mathbb{R}^d)$ 内の初期データの正確なクラスを特定すること。
• グローバルハーナック原理および一様相対誤差収束を満たす解を特徴付ける鋭い積分条件を確立すること。
• 解の尾部が漸近的にBarenblatt型解の尾部と一致する最小の初期データ集合を同定すること。
• 相対誤差における収束速度を定量的に評価し、非重み付きの場合にはほぼ最適であり、回転対称解では最適であることを示すこと。
• 特徴付けられたクラスに属さない初期データを持つ解が、ファットテイルを永久に保持し、一様相対誤差収束が失敗することを示すこと。

提案手法

• 初期データに積分条件を課すことにより定義される新しいクラス $\mathcal{X} \subset \mathrm{L}^1_+(\mathbb{R}^d)$ を導入し、これによりBarenblatt型解と同様の尾部挙動を示す解が特徴付けられることを示す。
• 錐領域における放物型ハーナック不等式を適用し、解の上界および下界を一様に得ることで、グローバルハーナック原理を確立する。
• 自己相似変数へのスケーリングを施し、重み付き放物型方程式の解に対するホルダー連続性推定を用いて空間的正則性を制御する。
• 下界解および上界解の構成を用いて、$\mathcal{X}$ の外側の初期データを持つ解が、すべての時刻でファットテイルを維持することを証明し、$\mathrm{d}_\infty(u(t)) = \infty$ を示す。
• 相対誤差における収束速度を鋭く導出し、$\|u(t)/\mathcal{B}(t) - 1\|_{L^\infty}$ の減衰を解析することで、回転対称解では最適であることを示す。
• 自己相似変数における方程式の線形化版を用い、重み付き退化放物型方程式の理論からの事前推定を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重み付き速い拡散方程式の解がBarenblatt型解へ相対誤差において一様収束する、$\mathrm{L}^1_+(\mathbb{R}^d)$ 内の初期データの最大集合は何か？
• RQ2 初期データにどのような積分条件を課すと、解がグローバルハーナック原理を満たし、一様相対誤差収束を示すか？
• RQ3 $\mathcal{X}$ に属さない初期データを持つ解の尾部挙動および相対誤差収束の挙動はいかなるものか？
• RQ4 相対誤差における収束速度は初期データにどのように依存し、最適性はいかがなっているか？
• RQ5 $\mathcal{X}$ の外側の解における一様相対誤差収束の失敗は、定量的に評価可能か？また、その尾部挙動の性質は何か？

主な発見

• クラス $\mathcal{X} \subset \mathrm{L}^1_+(\mathbb{R}^d)$ は初期データに積分条件を課すことにより特徴付けられ、これにより解がグローバルハーナック原理を満たし、2つのBarenblatt型解の間に点ごとの有界性が保証される。
• 初期データが $\mathcal{X}$ に属する解は、相対誤差において一様収束し、すなわち $t \to \infty$ のとき $\|u(t)/\mathcal{B}(t) - 1\|_{L^\infty(\mathbb{R}^d)} \to 0$ となる。収束速度は非重み付きの場合にはほぼ最適であり、回転対称解では最適である。
• 初期データが $\mathcal{X}$ の外側にある解は、すべての時刻で「ファット」な尾部を維持するため、すべての $t$ に対して $\mathrm{d}_\infty(u(t)) = \infty$ となる。$\|u(t) - \mathcal{B}(t)\|_{L^1(\mathbb{R}^d)} \to 0$ であるが、相対誤差収束は成立しない。
• 本稿では、$\mathcal{X}$ に属する解の相対誤差における収束速度の最小限の見積もりを提供し、回転対称データでは鋭く、一般にはほぼ鋭いものである。
• $\mathcal{X}$ の外側のデータに対する相対誤差収束の失敗は、持続的な尾部優位性に起因しており、明示的な下界解および上界解の構成によりこれを証明する。
• これらの結果は、古典的で重みなしの速い拡散方程式に対しても新規であり、線形熱方程式に対する既存の結果よりもより精密な特徴付けを提供する。