[論文レビュー] Fine properties of the integrated density of states and a quantitative separation property of the Dirichlet eigenvalues

Michael Goldstein, Wilhelm Schlag|arXiv (Cornell University)|Jan 2, 2005

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 24被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、三角多項式に近い解析的ポテンシャルをもつ1次元準周期的シュレーディンガー作用素の統合状態密度（IDS）の鋭いホルダー連続性評価を確立する。有限体積スペクトル解析と複素化位相法を用いて、正のリャプノフ指数およびディオファントス周波数条件の下で、IDSは任意の $\kappa > 0$ に対して指数 $\frac{1}{2k_0} - \kappa$ のホルダー連続であり、ほとんど everywhere で絶対連続であることを証明する。

ABSTRACT

We develop some non-perturbative methods for studying the IDS in almost Mathieu and related models. Assuming positive Lyapunov exponents, and assuming that the potential function is a trigonometric polynomial of degree k, we show that the Holder exponent of the IDS is almost 1/2k. We also show that this is stable under small perturbations of the potential (e.g., potentials which are close to that of almost Mathieu again give rise to almost 1/2 Holder continuous IDS). Moreover, off a set of Hausdorff dimension zero the IDS is Lipschitz. We further deduce from these properties that the IDS is absolutely continuous for almost every shift angle. The proof is based on large deviation theorems for the entries of the transfer matrices in combination with the avalanche principle for non-unimodular matrices. These two are combined to yield a multiscale approach to counting zeros of determinants which fall into small disks. In addition, we develop a new mechanism of eliminating resonant phases, and use it to obtain lower bounds on the gap between Dirichlet eigenvalues. The latter also uses the exponential localization of the eigenfunctions.

研究の動機と目的

• 1次元差分シュレーディンガー作用素に解析的ポテンシャルをもつ場合の統合状態密度（IDS）の細かな正則性性質を確立すること。
• ディオファントス周波数および正のリャプノフ指数の下で、有限区間におけるディリクレ固有値の分離を定量的に特定すること。
• 特徴的行列式の零点の複素環における分布を解析し、スペクトルの揺らぎを制御すること。
• 小さなエネルギー区間における固有値の数に対する定量的評価を導出し、IDSの正則性評価に繋げること。
• IDSがほとんどすべての周波数 $\omega$ に対して絶対連続であり、指数 $\frac{1}{2k_0} - \kappa$ のホルダー連続であることを示すこと。

提案手法

• 有限区間 $[1,N]$ におけるシュレーディンガー作用素 $H(x,\omega)$ のディリクレ固有値を分析する。
• 有限体積スペクトル評価を用いる：$ \eta \asymp N^{-1 + \delta} $ のとき、$ (E - \eta, E + \eta) $ 内の固有値の平均的な数は、任意の $ \kappa > 0 $ に対して $ N \eta^{\frac{1}{2k_0} - \kappa} $ で有界である。
• 複素化位相解析を用い、特徴的行列式 $ f_N(z, \omega, E) $ の零点を $ \mathcal{A}_\rho = \{ z \in \mathbb{C} : 1 - \rho < |z| < 1 + \rho \} $ の環で調べる。
• これらの零点が $ \mathcal{A}_\rho $ 内で等分布することを証明し、半径 $ \exp(-(\log N)^A) $ の任意の円板内に $ 2k_0 $ 個より多くの零点が存在しないことを示す。
• サブハーモニック関数の技法と指数的減衰評価を用いて、例外的な周波数およびエネルギーの集合を制御する。
• 測度および複雑度の評価をもつ入れ子構造の集合 $ \Omega^{(s)} $, $ \mathcal{E}^{(s)} $ の再帰的構成を用い、スペクトルの揺らぎを制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 解析的ポテンシャルが三角多項式に近い準周期的シュレーディンガー作用素の統合状態密度（IDS）の最良ホルダー正則性は何か？
• RQ2 有限区間におけるディリクレ固有値のエネルギー内での分布はどのようにか？ また、それらの最小分離距離は何か？
• RQ3 複素化位相解析は、固有値およびスペクトル測度の分布を制御するために果たす役割は何か？
• RQ4 小さなエネルギー区間における固有値の数に対する定量的評価を得ることは、IDSの正則性を示すために可能か？
• RQ5 IDSが絶対連続となる条件は何か？ また、これは $\omega$ のディオファントス的性質とどのように関係するか？

主な発見

• 統合状態密度 $ \mathcal{N}(E) $ は、任意の $ \kappa > 0 $ に対して $ \left(\frac{1}{2k_0} - \kappa\right) $-ホルダー連続である。ここで $ k_0 $ は元の三角多項式の次数である。
• ほとんどすべての $ \omega $ に対して、IDSは絶対連続である。これは有限区間におけるスペクトル評価の結果である。
• 有限区間 $[1,N]$ における $ (E - \eta, E + \eta) $ 内のディリクレ固有値の平均的な数は、$ \eta \asymp N^{-1 + \delta} $, $ \delta \ll 1 $ のとき、$ N \eta^{\frac{1}{2k_0} - \kappa} $ で有界である。
• $ \omega \notin \Omega(\varepsilon) $, $ \text{mes}\, \Omega(\varepsilon) < \varepsilon $, および $ E \notin \mathcal{E}_\omega(\varepsilon) $, $ \text{mes}\, \mathcal{E}_\omega(\varepsilon) < \varepsilon $ のとき、$ (E - \eta, E + \eta) $ 内の固有値の数は、$ \eta > N^{-1 + b} $, $ b > 0 $ のとき、$ \exp\left((\log \varepsilon^{-1})^A\right) \eta N $ で有界である。
• IDS は $ \mathcal{N}(E + \eta) - \mathcal{N}(E - \eta) \leq \exp\left((\log \varepsilon^{-1})^A\right) \eta $ を満たす。$ E \notin \mathcal{E}_\omega(\varepsilon) $ のとき、これは例外集合から離れた領域での強い正則性を示す。
• すべての $ \delta > 0 $ に対して、エネルギーの小さな例外集合を除いた後、$[0,N]$ 上でのディリクレ固有値の分離距離に $ e^{-N^\delta} $ の下界が確立される。