[論文レビュー] Fine regularity of Lévy processes and linear (multi)fractional stable motion

Paul Balança|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2013

Complex Systems and Time Series Analysis参考文献 40被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、Lévy過程および線形多分野安定運動（LMSM）の微細な正則性を研究するための2ミクロ局所解析フレームワークを導入し、それらの点ごとの Hölder 正則性が複雑で非一様な多分岐構造を示すことを明らかにした。主な貢献は、連続的かつ有界でないパスをもつLMSMの多分岐スペクトルの完全な特徴付けであり、それが非一様的かつ確率的であることを示し、2ミクロ局所フロントがHurst関数とBlumenthal–Getoor指数を介してスペクトルを完全に決定することを示している。

ABSTRACT

In this work, we investigate the fine regularity of Lévy processes using the 2-microlocal formalism. This framework allows us to refine the multifractal spectrum determined by Jaffard and, in addition, study the oscillating singularities of Lévy processes. The fractal structure of the latter is proved to be more complex than the classic multifractal spectrum and is determined in the case of alpha-stable processes. As a consequence of these fine results and the properties of the 2-microlocal frontier, we are also able to completely characterise the multifractal nature of the linear fractional stable motion (extension of fractional Brownian motion to α-stable measures) in the case of continuous and unbounded sample paths as well. The regularity of its multifractional extension is also presented, indirectly providing an example of a stochastic process with a non-homogeneous and random multifractal spectrum.

研究の動機と目的

• 古典的な多分岐スペクトルを、Hölder指数を超える振動する特異性と点ごとの正則性の分析によって精緻化すること。
• 連続的かつ有界でないサンプルパスをもつ線形分数安定運動（LFSM）の多分岐的性質を完全に特徴づけること。
• 線形多分野安定運動（LMSM）への分析を拡張し、非一様的かつ確率的な多分岐スペクトルを示すこと。
• 2ミクロ局所フロントが、確率的Hurst関数を伴う場合でさえも、これらの過程の多分岐構造を完全に決定することを示すこと。

提案手法

• 2ミクロ局所解析を確率過程に適応し、2ミクロ局所スペクトルのフロントを用いて点ごとの正則性および振動する特異性を捉える。
• Lévy過程とカーネル関数を用いた積分変換による分数Lévy過程の表現を採用する。
• Blumenthal–Getoor指数 β を用いて、Lévy過程の多分岐スペクトルを [d, d+1/β] 上で β(h−d) として特徴づける。
• AyacheとHamonier（2012）の均一Hölder推定を用いて、LMSMの2ミクロ局所フロントを評価する。
• LMSMを定数Hurst関数成分と時間変動Hurst関数に起因する摂動に分解し、後者が2ミクロ局所正則性において無視可能であることを証明する。
• LMSMの時刻 t における2ミクロ局所フロントが σX,t(s′) = σL,t(s′) + H(t) − 1/α で与えられることを確立し、これにより元のLévy過程とHurst関数とが関連づけられることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2ミクロ局所解析は、古典的なLévy過程の多分岐スペクトルを、点ごとのHölder指数を超えてどのように精緻化するか？
• RQ2 連続的かつ有界でないパスをもつ線形分数安定運動（LFSM）の多分岐スペクトルの正確な構造は何か？
• RQ3 Hurst関数 H(·) が連続的かつ確率的である場合に、線形多分野安定運動（LMSM）の多分岐スペクトルを完全に特徴づけることができるか？
• RQ4 振動する特異性および非一様な正則性は、Lévy型過程の2ミクロ局所フロントにどのように影響するか？

主な発見

• Lévy過程の多分岐スペクトルは、h ∈ [d, d+1/β] で dX(h,V) = β(h−d) であり、それ以外では −∞ である。ここで β はBlumenthal–Getoor指数である。
• 線形分数安定運動（LFSM）において、多分岐スペクトルは [d, d+1/β] 上で dX(h,V) = β(h−d) であり、非退化的かつ非一様な構造が確認された。
• LMSMの2ミクロ局所フロントは、すべての t および s′ に対して σX,t(s′) = σL,t(s′) + H(t) − 1/α を満たし、非一様的かつ確率的多分岐スペクトルであることを証明した。
• LMSMのスペクトルは非退化的であり、t に依存して変化し、過程が確率的かつ非一様な多分岐構造を有することを示した。
• 時間変動Hurst関数に起因する摂動が2ミクロ局所正則性において無視可能であることが示され、フロントが加法的に分解可能であることが保証された。
• 結果は確率的Hurst関数に対しても拡張可能であり、新たな確率的かつ非一様な多分岐スペクトルを有する確率過程のクラスの構築を可能にした。