[論文レビュー] Fine Structure of the Zeros of Orthogonal Polynomials, I. A Tale of Two Pictures

Barry Simon|ArXiv.org|Nov 17, 2004

Mathematical functions and polynomials参考文献 37被引用数 61

ひとこと要約

本稿は、Verblunsky係数が $\alpha_n = Cb^n + O((b\Delta)^n)$ と指数的に減少するBLS条件下での、単位円上における直交多項式の零点の微細構造を調査する。Nevai-Totik零点を除く有限個の零点を除き、残りの零点は $|z| = b$ 上で漸近的に等間隔に分布し、間隔誤差は $O(1/\log n)$、半径的ずれは $O(\log n / n)$ で有界であり、バルク領域における正確な等分布が確立される。

ABSTRACT

Mhaskar-Saff found a kind of universal behavior for the bulk structure of the zeros of orthogonal polynomials for large $n$. Motivated by two plots, we look at the finer structure for the case of random Verblunsky coefficients and for what we call the BLS condition: $α_n = Cb^n + O((bΔ)^n)$. In the former case, we describe results of Stoiciu. In the latter case, we prove asymptotically equal spacing for the bulk of zeros.

研究の動機と目的

• 直交多項式の零点の微細分布を、バルク漸近論を越えて分析すること。
• Verblunsky係数がBLS条件 $\alpha_n = Cb^n + O((b\Delta)^n)$ を満たす場合の零点の挙動、特に間隔と半径的ずれを理解すること。
• Nevai-Totik零点（有限個）を除く残りの零点が、円 $|z| = b$ 上で漸近的に等間隔に分布することを証明すること。
• 零点集合のバルク領域における半径的ずれと角度間隔誤差の定量的評価を確立すること。
• Verblunsky列のうち、$z = b$ のみが特異点であるような集合が、BLSクラスにおいて稠密かつ開であることを示し、一般に等分布が成立することを示すこと。

提案手法

• CMV行列表現を用いて、直交多項式を $\Phi_n(z) = \det(z - \mathcal{C}^{(n)})$ と表現し、スペクトル性質と零点分布を結びつける。
• Szegő再帰と $\Phi_n^*$ の性質を用いて、$\sup_n \|\Phi_n^*\|_\infty$ の一様有界性を導出し、収束結果を得る。
• Hurwitzの定理と $D(z)^{-1}$ の解析接続を用いて、アニュラス $\{b < |z| < 1\}$ 内の零点の極限点を $D(1/\bar{z})^{-1}$ の零点として同定する。
• Nevai-Totik点を、$\{b < |z| < 1\}$ 内に孤立した $D(1/\bar{z})^{-1}$ の零点として定義し、その数が有限であることを示す。
• 関数 $f_n(z) = (b/z)^n - g(z)^{-1}$ と比較関数を用いた摂動論的議論により、零点の位置を制御し、間隔推定を得る。
• Wiener代数の技法を用いて、$D(z)^{-1} - C(z - b^{-1})^{-1}$ がWiener代数に属することから、$|z| = b^{-1}$ 上で非ゼロであることが一般に成り立つことを示し、特異点が一般に $z = b$ のみであることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Verblunsky係数にどのような条件が課されると、直交多項式の零点が漸近的に等角間隔に分布するか？
• RQ2 $n \to \infty$ のとき、バルク零点の $|z| = b$ からの半径的ずれはどのように振る舞うか？
• RQ3 連続するバルク零点間の角度間隔の正確な誤差は何か？ そしてそれは $n$ とともにどのように減少するか？
• RQ4 Verblunsky列のうち、$z = b$ のみが特異点であるような集合が、BLSクラスで一般に成り立つことを示せるか？
• RQ5 例外的なNevai-Totik零点は、残りのバルク零点の等分布にどのように影響を与えるか？

主な発見

• Verblunsky係数がBLS条件 $\alpha_n = Cb^n + O((b\Delta)^n)$ を満たすとき、Nevai-Totik零点の数は有限である。
• Nevai-Totik零点を除くバルク零点は、円 $|z| = b$ 上で漸近的に等間隔に分布し、角度間隔誤差は $O(1/\log n)$ である。
• バルク零点の $|z| = b$ からの半径的ずれは、すべてのバルク零点に一様に $O(\log n / n)$ で有界である。
• 連続する半径距離の比 $|z_{j+1}^{(n)}|/|z_j^{(n)}|$ は、$j$ に一様に $O(1/\log n)$ の誤差で 1 に収束する。
• 固定された $L$ に対して、最初の $L$ 個および最後の $L$ 個のバルク零点は、$be^{2\pi i \ell / n}$ に漸近的に一致し、円上での等分布を再現する。
• Verblunsky列のうち、$z = b$ のみが特異点であるような集合は、BLS空間 $\mathcal{V}_{b,\Delta}$ 内で稠密かつ開であり、一般に等分布が成立することを示唆する。